某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 $l_1,l_2$，山区边界曲线为 $C$，计划修建的公路为l，如图所示， $M$， $N$为 $C$的两个端点，测得点 $M$到 $l_1,l_2$的距离分别为5千米和40千米，点 $N$到 $l_{1,}{l}_2$的距离分别为20千米和2.5千米，以 $l_1,l_2$所在的直线分别为 $x$， $y$轴，建立平面直角坐标系 $xoy$，假设曲线 $C$符合函数 $y=\frac{a}{x^2+b}$（其中 $a$， $b$为常数）模型.

（1）求 $a$， $b$的值；
（2）设公路l与曲线 $C$相切于 $P$点， $P$的横坐标为 $t$.
①请写出公路l长度的函数解析式 $f\left(t\right)$，并写出其定义域；
②当 $t$为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

科目 数学   题型 解答题   难度 较易