如图，在Rt△ABC中，∠ACB90°，以AC为直径的⊙O与-优题课

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．

（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）求证：BC²=BD•BA；
（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心圆幂定理圆内接四边形的性质

如图， $E$ 是 $▱ ABCD$ 的边 $AD$ 的中点，连接 $CE$ 并延长交 $BA$ 的延长线于 $F$ ，若 $CD = 6$ ，求 $BF$ 的长．

如图，直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于 $B$ 、 $C$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上， $∠ ACB = 90 °$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + \sqrt{3}$ 经过 $A$ ， $B$ 两点．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$ 是直线 $BC$ 上方抛物线上的一点，过点 $M$ 作 $MH ⊥ BC$ 于点 $H$ ，作 $MD / / y$ 轴交 $BC$ 于点 $D$ ，求 $ΔDMH$ 周长的最大值．

如图，在等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ BAC = 120 °$ ， $AB = AC = 2$ ，点 $D$ 是 $BC$ 边上的一个动点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），在 $AC$ 上取一点 $E$ ，使 $∠ ADE = 30 °$ ．

（1）求证： $ΔABD ∽ ΔDCE$ ；

（2）设 $BD = x$ ， $AE = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）当 $ΔADE$ 是等腰三角形时，求 $AE$ 的长．

为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对 $A$ 、 $B$ 两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所 $A$ 类学校和3所 $B$ 类学校共需资金7800万元，改扩建3所 $A$ 类学校和1所 $B$ 类学校共需资金5400万元．

（1）改扩建1所 $A$ 类学校和1所 $B$ 类学校所需资金分别是多少万元？

（2）该县计划改扩建 $A$ 、 $B$ 两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到 $A$ 、 $B$ 两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？

如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与坐标轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，与反比例函数 $y = \frac{n}{x}$ 的图象在第一象限的交点为 $C$ ， $CD ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，若 $OB = 3$ ， $OD = 6$ ， $ΔAOB$ 的面积为3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）直接写出当 $x > 0$ 时， $kx + b - \frac{n}{x} < 0$ 的解集．

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