已知函数,其中
是自然对数的底数.
(Ⅰ)证明:是
上的偶函数;
(Ⅱ)若关于的不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)已知正数满足:存在
,使得
成立,试比较
与
的大小,并证明你的结论.
(文科)已知椭圆的右焦点为
,短轴的端点分别为
,且
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为
的直线
交椭圆于
两点,弦
的垂直平分线与
轴相交于点
.设弦
的中点为
,试求
的取值范围.
(理科)已知双曲线的离心率为
,右准线方程为
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)设直线是圆
上动点
处的切线,
与双曲线
交于不同的两点
,证明
的大小为定值.
(文科)已知椭圆(
)的四个顶点恰好是一边长为
,一内角为
的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆
交于
,
两点,且线段
的垂直平分线经过点
,求
(
为原点)面积的最大值.
(理科)已知椭圆的离心率
,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点
,已知点
的坐标为(
),点
在线段
的垂直平分线上,且
,求
的值
(文科)设椭圆的左、右焦点分别为
,上顶点为
,在
轴负半轴上有一点
,满足
,且
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若过三点的圆与直线
相切,求椭圆
的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点作斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点,线段
的中垂线与
轴相交于点
,求实数
的取值范围.