已知：如图，正方形ABCD，E，F分别为DC，BC中点．求证-优题课

在"新冠"疫情期间，全国人民"众志成城，同心抗疫"，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元 $/$ 件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 $y$ （单位：件）与线下售价 $x$ （单位：元 $/$ 件， $12 ⩽ x < 24)$ 满足一次函数的关系，部分数据如下表：

$x$ （元 $/$ 件）	12	13	14	15	16
$y$ （件 $)$	1200	1100	1000	900	800

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当 $x$ 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．

如图，在 $ΔABC$ 的边 $BC$ 上取一点 $O$ ，以 $O$ 为圆心， $OC$ 为半径画 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 与边 $AB$ 相切于点 $D$ ， $AC = AD$ ，连接 $OA$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $CE$ ，并延长交线段 $AB$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 10$ ， $\tan B = \frac{4}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（3）若 $F$ 是 $AB$ 的中点，试探究 $BD + CE$ 与 $AF$ 的数量关系并说明理由．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A (3, 4)$ ，过点 $A$ 的直线 $y = kx + b$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若 $ΔAOB$ 的面积为 $ΔBOC$ 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．

成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台 $A$ 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项 $D$ 处测得塔 $A$ 处的仰角为 $45 °$ ，塔底部 $B$ 处的俯角为 $22 °$ ．已知建筑物的高 $CD$ 约为61米，请计算观景台的高 $AB$ 的值．

（结果精确到1米；参考数据： $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40)$

2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的同学共有　人；

（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为　　；

（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．