（本题10分）小美周末来到公园,发现在公园一角有一种守株待兔-优题课

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $E$ 为 $DC$ 边的中点，连接 $AE$ ，若 $AE$ 的延长线和 $BC$ 的延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $BC = CF$ ；

（2）连接 $AC$ 和 $BE$ 相交于点为 $G$ ，若 $ΔGEC$ 的面积为2，求平行四边形 $ABCD$ 的面积．

先化简，再求值： $(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) \div \frac{1}{x^{2} + xy}$ ．其中 $x = \sqrt{2}$ ， $y = 1$ ．

解方程： $\frac{x - 3}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y ＝﹣ x^{2} + bx + c$ 的图象与坐标轴相交于 A、 B、 C三点，其中 A点坐标为（3，0）， B点坐标为（﹣1，0），连接 AC、 BC．动点 P从点 A出发，在线段 AC上以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度向点 C做匀速运动；同时，动点 Q从点 B出发，在线段 BA上以每秒1个单位长度向点 A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 PQ，设运动时间为 t秒．

（1）求 b、 c的值．

（2）在 P、 Q运动的过程中，当 t为何值时，四边形 BCPQ的面积最小，最小值为多少？

（3）在线段 AC上方的抛物线上是否存在点 M，使△ MPQ是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， AB是⊙ O的直径，点 F在⊙ O上，∠ BAF的平分线 AE交⊙ O于点 E，过点 E作 $ED ⊥ AF$ ，交 AF的延长线于点 D，延长 DE、 AB相交于点 C．

（1）求证： CD是⊙ O的切线；

（2）若⊙ O的半径为5， $\tan ∠ EAD = \frac{1}{2}$ ，求 BC的长．