学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉-优题课

学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如下表:

选手	表达能力	阅读理解	综合素质	汉字听写
甲	85	78	85	73
乙	73	80	82	83

（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80．25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁;
（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．[来

科目数学题型解答题难度中等

知识点：统计量的选择

小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．

（1）求小刚跑步的平均速度；

（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．

某工程队准备从 $A$ 到 $B$ 修建一条隧道，测量员在直线 $AB$ 的同一侧选定 $C$ ， $D$ 两个观测点，如图．测得 $AC$ 长为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} km$ ， $CD$ 长为 $\frac{3}{4} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) km$ ， $BD$ 长为 $\frac{3}{2} km$ ， $∠ ACD = 60 °$ ， $∠ CDB = 135 ° (A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一水平面内）．

（1）求 $A$ 、 $D$ 两点之间的距离；

（2）求隧道 $AB$ 的长度．

为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中 $a$ ， $b$ 满足 $b = 2 a$ ．请根据所给信息，解答下列问题：

甲组20名学生竞赛成绩统计表

成绩（分 $)$	70	80	90	100
人数	3	$a$	$b$	5

（1）求统计表中 $a$ ， $b$ 的值；

（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是： $(70 + 80 + 90 + 100) \div 4 = 85$ （分 $)$ ．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；

（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 4 x$ 经过坐标原点，与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，点 $M (m, n)$ 是抛物线上一动点．

（1）如图1，当 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $n = 3 m$ 时，

①求点 $M$ 的坐标；

②若点 $B (\frac{15}{4}$ ， $y)$ 在该抛物线上，连接 $OM$ ， $BM$ ， $C$ 是线段 $BM$ 上一动点（点 $C$ 与点 $M$ ， $B$ 不重合），过点 $C$ 作 $CD / / MO$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ，线段 $OD$ 与 $MC$ 是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $K$ ，点 $E (x, \frac{7}{3})$ 在对称轴上，当 $m > 2$ ， $n > 0$ ，且直线 $EM$ 交 $x$ 轴的负半轴于点 $F$ 时，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $EM$ 于点 $N$ ， $G$ 为 $y$ 轴上一点，点 $G$ 的坐标为 $(0, \frac{18}{5})$ ，连接 $GF$ ．若 $EF + NF = 2 MF$ ，求证：射线 $FE$ 平分 $∠ AFG$ ．

如图，已知 $ΔABC$ 是等边三角形， $P$ 是 $ΔABC$ 内部的一点，连接 $BP$ ， $CP$ ．

（1）如图1，以 $BC$ 为直径的半圆 $O$ 交 $AB$ 于点 $Q$ ，交 $AC$ 于点 $R$ ，当点 $P$ 在 $\hat{QR}$ 上时，连接 $AP$ ，在 $BC$ 边的下方作 $∠ BCD = ∠ BAP$ ， $CD = AP$ ，连接 $DP$ ，求 $∠ CPD$ 的度数；

（2）如图2， $E$ 是 $BC$ 边上一点，且 $EC = 3 BE$ ，当 $BP = CP$ 时，连接 $EP$ 并延长，交 $AC$ 于点 $F$ ，若 $\sqrt{7} AB = 4 BP$ ，求证： $4 EF = 3 AB$ ；

（3）如图3， $M$ 是 $AC$ 边上一点，当 $AM = 2 MC$ 时，连接 $MP$ ．若 $∠ CMP = 150 °$ ， $AB = 6 a$ ， $MP = \sqrt{3} a$ ， $ΔABC$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔBCP$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）．