发现问题：如图（1），在ΔABC中，∠A2∠B，且∠A60°-优题课

发现问题：
如图（1），在ΔABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．
我们可以进行以下计算：
由题意可知：∠B=30°，∠C=90°，
可得到：c=2b，a=b，
所以a²－b²=(b)²－b²=2b²=b·c．
即a²－b²= bc．
提出猜想：
对于任意的ΔABC，当∠A=2∠B时，关系式a²－b²=bc都成立．
验证猜想：
（1）（验证特殊三角形）如图（2），请你参照上述研究方法，对等腰直角三角形进行验证，判断猜想是否正确，并写出验证过程；
已知：ΔABC中，∠A=2∠B，∠A=90°求证：a²－b²=bc．
（2）（验证一般三角形）如图（3），
已知：ΔABC中，∠A=2∠B，求证：a²－b²= bc．
结论应用：
若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心相似多边形的性质

某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ．如图，圆内接正五边形 $ABCDE$ ，圆心为 $O$ ， $OA$ 与 $BE$ 交于点 $H$ ， $AC$ 、 $AD$ 与 $BE$ 分别交于点 $M$ 、 $N$ ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）

（1）求证： $ΔABM$ 是等腰三角形且底角等于 $36 °$ ，并直接说出 $ΔBAN$ 的形状；

（2）求证： $\frac{BM}{BN} = \frac{BN}{BE}$ ，且其比值 $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ；

（3）由对称性知 $AO ⊥ BE$ ，由（1）（2）可知 $\frac{MN}{BM}$ 也是一个黄金分割数，据此求 $\sin 18 °$ 的值．

"通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知"是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程 $x - \sqrt{x} = 0$ ，就可以利用该思维方式，设 $\sqrt{x} = y$ ，将原方程转化为： $y^{2} - y = 0$ 这个熟悉的关于 $y$ 的一元二次方程，解出 $y$ ，再求 $x$ ，这种方法又叫"换元法"．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．

已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $\{\begin{matrix} 5 x^{2} y^{2} + 2 x + 2 y = 133 \\ \frac{x + y}{4} + 2 x^{2} y^{2} = 51 \end{matrix}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值．

为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表．

跳绳的次数	频数
$60 ⩽ x <$	4
$⩽ x <$	6
$⩽ x <$	11
$⩽ x <$	22
$⩽ x <$	10
$⩽ x <$	4
$⩽ x <$

（1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；

（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；

（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．

已知自变量 $x$ 与因变量 $y_{1}$ 的对应关系如表呈现的规律．

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	$\dots$
$y_{1}$	$\dots$	12	11	10	9	8	$\dots$

（1）直接写出函数解析式及其图象与 $x$ 轴和 $y$ 轴的交点 $M$ ， $N$ 的坐标；

（2）设反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与（1）求得的函数的图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点且 $S_{ΔAOB} = 30$ ，求反比例函数解析式；已知 $a \neq 0$ ，点 $(a, y_{2})$ 与 $(a, y_{1})$ 分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出 $y_{2}$ 与 $y_{1}$ 的大小关系．

如图，一艘船由 $A$ 港沿北偏东 $65 °$ 方向航行 $38 km$ 到 $B$ 港，然后再沿北偏西 $42 °$ 方向航行至 $C$ 港，已知 $C$ 港在 $A$ 港北偏东 $20 °$ 方向．

（1）直接写出 $∠ C$ 的度数；

（2）求 $A$ 、 $C$ 两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）