如图，在平行四边形ABCD中，AB5，BC12，对角线交于点-优题课

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与直线 $AB$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $A (- 3, - 4)$ ， $B (0, - 1)$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$ 为直线 $AB$ 下方抛物线上的任意一点，连接 $PA$ ， $PB$ ，求 $ΔPAB$ 面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} (a_{1} \neq 0)$ ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 $C$ ，点 $D$ 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $E$ ，使以点 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对 $A$ ， $B$ 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年 $A$ ， $B$ 两个品种各种植了10亩．收获后 $A$ ， $B$ 两个品种的售价均为2.4元 $/ kg$ ，且 $B$ 的平均亩产量比 $A$ 的平均亩产量高 $100 kg$ ， $A$ ， $B$ 两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）请求出 $A$ ， $B$ 两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在 $A$ ， $B$ 种植亩数不变的情况下，预计 $A$ ， $B$ 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 $a %$ 和 $2 a %$ ．由于 $B$ 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨 $a %$ ，而 $A$ 品种的售价不变． $A$ ， $B$ 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加 $\frac{20}{9} a %$ ．求 $a$ 的值．

在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数 $- -$ “差一数”．

定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．

例如： $14 \div 5 = 2 \dots 4$ ， $14 \div 3 = 4 \dots 2$ ，所以14是“差一数”；

$19 \div 5 = 3 \dots 4$ ，但 $19 \div 3 = 6 \dots 1$ ，所以19不是“差一数”．

（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；

（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．

在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；

$x$	$\dots$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$	$\dots$	$- \frac{15}{13}$	$- \frac{24}{17}$		$- \frac{12}{5}$	$- 3$	0	3	$\frac{12}{5}$		$\frac{24}{17}$	$\frac{15}{13}$	$\dots$

（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“ $\sqrt$ ”，错误的在答题卡上相应的括号内打“ $\times$ ”；

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 $y$ 轴．

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当 $x = 1$ 时，函数取得最大值3；当 $x = - 1$ 时，函数取得最小值 $- 3$ ．

③当 $x < - 1$ 或 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $- 1 < x < 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．

（3）已知函数 $y = 2 x - 1$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $\frac{6 x}{x^{2} + 1} > 2 x - 1$ 的解集（保留1位小数，误差不超过 $0.2)$ ．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，分别过点 $A$ ， $C$ 作 $AE ⊥ BD$ ， $CF ⊥ BD$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ． $AC$ 平分 $∠ DAE$ ．

（1）若 $∠ AOE = 50 °$ ，求 $∠ ACB$ 的度数；

（2）求证： $AE = CF$ ．