在△ABC内侧作射线，自B，C分别向射线AP引垂线，垂足分别-优题课

改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长 $(AD) 16 m$ ，宽 $(AB) 9 m$ 的矩形场地 $ABCD$ 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 $AB$ 平行，另一条与 $AD$ 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为 $112 m^{2}$ ，则小路的宽应为多少？

今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动．学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）这组数据的中位数落在　　范围内；

（3）判断：这组数据的众数一定落在 $70 ⩽ x < 80$ 范围内，这个说法　　（填“正确”或“错误” $)$ ；

（4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在 $80 ⩽ x < 90$ 范围内的扇形圆心角的大小为　　；

（5）若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有　　名学生获得优秀成绩．

先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ ， $B$ 两点且与 $x$ 轴的负半轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点 $D$ 为直线 $AB$ 上方抛物线上的一个动点，当 $∠ ABD = 2 ∠ BAC$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）已知 $E$ ， $F$ 分别是直线 $AB$ 和抛物线上的动点，当以 $B$ ， $O$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的 $E$ 点的坐标．

定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ ABC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ， $CD$ ．

求证：四边形 $ABCD$ 是等补四边形；

探究：

（2）如图2，在等补四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ，连接 $AC$ ， $AC$ 是否平分 $∠ BCD$ ？请说明理由．

运用：

（3）如图3，在等补四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ，其外角 $∠ EAD$ 的平分线交 $CD$ 的延长线于点 $F$ ， $CD = 10$ ， $AF = 5$ ，求 $DF$ 的长．