有这样一个问题：探究函数的图象与性质.小东根据学习函数的经验-优题课

有这样一个问题：探究函数的图象与性质.
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是____；
（2）下表是y与x的几组对应值.

求m的值：
（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象：

（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：_________.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

（1）如图①，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，若 $AE$ 是 $∠ BAD$ 的平分线，试判断 $AB$ ， $AD$ ， $DC$ 之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长 $AE$ 交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，易证 $ΔAEB ≅ ΔFEC$ 得到 $AB = FC$ ，从而把 $AB$ ， $AD$ ， $DC$ 转化在一个三角形中即可判断．

$AB$ ， $AD$ ， $DC$ 之间的等量关系　　；

（2）问题探究：如图②，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $AF$ 与 $DC$ 的延长线交于点 $F$ ，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，若 $AE$ 是 $∠ BAF$ 的平分线，试探究 $AB$ ， $AF$ ， $CF$ 之间的等量关系，并证明你的结论．

近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级： $A$ ．非常了解； $B$ ．比较了解； $C$ ．基本了解； $D$ ．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．

对雾霾天气了解程度的统计表

对雾霾天气了解程度	百分比
$A$ ．非常了解	$5 %$
$B$ ．比较了解	$15 %$
$C$ ．基本了解	$45 %$
$D$ ．不了解	$n$

请结合统计图表，回答下列问题：

（1）本次参与调查的学生共有　　， $n =$ 　　；

（2）扇形统计图中 $D$ 部分扇形所对应的圆心角是　　度；

（3）请补全条形统计图；

（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 $(J$ ． $Nplcr$ ， $1550 - 1617$ 年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(Evlcr$ ， $1707 - 1783$ 年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^{x} = N (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，那么 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x = \log_{a} N$ ，比如指数式 $2^{4} = 16$ 可以转化为对数式 $4 = \log_{2} 16$ ，对数式 $2 = \log_{5} 25$ ，可以转化为指数式 $5^{2} = 25$ ．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

$\log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$ ，理由如下：

设 $\log_{a} M = m$ ， $\log_{a} N = n$ ，则 $M = a^{m}$ ， $N = a^{n}$ ，

$∴ M \cdot N = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ，由对数的定义得 $m + n = \log_{a} (M \cdot N)$

又 $∵ m + n = \log_{a} M + \log_{a} N$

$∴ \log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N$

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式 $3^{4} = 81$ 转化为对数式　　；

（2）求证： $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$

（3）拓展运用：计算 $\log_{6} 9 + \log_{6} 8 - \log_{6} 2 =$ 　　．

安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 $y$ （千克）与每千克降价 $x$ （元 $) (0 < x < 20)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (\sqrt{3}$ ， $0)$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $OB = 3 OA = \sqrt{3} OC$ ， $∠ OAC$ 的平分线 $AD$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，过点 $A$ 且垂直于 $AD$ 的直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $PF ⊥ x$ 轴，垂足为 $F$ ，交直线 $AD$ 于点 $H$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，当 $FH = HP$ 时，求 $m$ 的值；

（3）当直线 $PF$ 为抛物线的对称轴时，以点 $H$ 为圆心， $\frac{1}{2} HC$ 为半径作 $⊙ H$ ，点 $Q$ 为 $⊙ H$ 上的一个动点，求 $\frac{1}{4} AQ + EQ$ 的最小值．