已知数列
的各项均为正数,记
,
,
,
……
(1)若
,
,且对任意
﹡,三个数
,
,
组成等差数列,求数列
的通项公式.
(2)证明:数列
是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意
,三个数
,
,
组成公比为
的等比数列.
如图,在四棱锥 中, 平面 , =4, =3, =5, = =90°, 是 的中点.
(Ⅰ)证明:
平面
;
(Ⅱ)若直线
与平面
所成的角和
与平面
所成的角相等,求四棱锥
的体积.
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量 |
1至4件 |
5至8件 |
9至12件 |
13至16件 |
17件及以上 |
顾客数(人) |
30 |
25 |
10 |
||
结算时间(分钟/人) |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(Ⅰ)确定
,
的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;
(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)
对于项数为m的有穷数列数集
,记
(
),即
为
中的最大值,并称数列
是
的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列
的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的
;
(2)设
是
的控制数列,满足
(
为常数,
).求证:
(
);
(3)设
,常数
.若
,
是
的控制数列,求
.
在平面直角坐标系
中,已知双曲线
.
(1)设
是
的左焦点,
是
右支上一点. 若
,求过
点的坐标;
(2)过
的左顶点作
的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的
面积;
(3)设斜率为
的直线
交
于
、
两点,若
与圆
相切,
求证:
;