计算：-优题课

先化简，再求值： $(\frac{2 m + 1}{m} - 1) \div \frac{m^{2} - 1}{m}$ ，其中 $m = \sqrt{3} + 1$ ．

解方程组： $\{\begin{matrix} x + y = 1 \\ 4 x + y = 10 \end{matrix}$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 过点 $A (0, 2)$ ．

（1）若点 $(- \sqrt{2}$ ， $0)$ 也在该抛物线上，求 $a$ ， $b$ 满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 都满足：当 $x_{1} < x_{2} < 0$ 时， $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) > 0$ ；当 $0 < x_{1} < x_{2}$ 时， $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) < 0$ ．以原点 $O$ 为心， $OA$ 为半径的圆与拋物线的另两个交点为 $B$ ， $C$ ，且 $ΔABC$ 有一个内角为 $60 °$ ．

①求抛物线的解析式；

②若点 $P$ 与点 $O$ 关于点 $A$ 对称，且 $O$ ， $M$ ， $N$ 三点共线，求证： $PA$ 平分 $∠ MPN$ ．

如图，在足够大的空地上有一段长为 $a$ 米的旧墙 $MN$ ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 $ABCD$ ，其中 $AD ⩽ MN$ ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若 $a = 20$ ，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙 $AD$ 的长；

（2）求矩形菜园 $ABCD$ 面积的最大值．

甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：

甲公司为"基本工资 $+$ 揽件提成"，其中基本工资为70元 $/$ 日，每揽收一件提成2元；

乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日搅件数超过40，超过部分每件多提成2元．

如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图：

（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；

（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：

①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；

②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说明理由．