如图，斜三棱柱
的底面是直角三角形，
，点
在底面内的射影恰好是
的中点，且
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若二面角
的余弦值为
，求斜三棱柱的侧棱
的长度．
（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．
（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；
（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量
，求的分布列和数学期望
．
在平面直角坐标系中，已知动点
，点
点
与点
关于直线
对称，且
.直线
是过点
的任意一条直线．
（1）求动点所在曲线
的轨迹方程；
（2）设直线与曲线交于
两点，且
，求直线的方程；
（3） 设直线与曲线交于
两点，求以
的长为直径且经过坐标原点
的圆的方程．
定义：若各项为正实数的数列
满足
，则称数列为“算术平方根递推数列”.
已知数列
满足
且
点
在二次函数
的图像上.
（1）试判断数列
是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；
（2）记
，求证：数列
是等比数列，并求出通项公式
；
（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项
，把这些项重新组成一个新数列
：
.若数列是首项为
，公比为
的无穷等比数列，且数列各项的和为
，求正整数
的值．
已知函数
，函数
是函数
的反函数．
（1）求函数的解析式，并写出定义域
；
（2） 设函数
，试判断函数
在区间
上的单调性，并说明你的理由．
已知函数
．
（1）求函数
的单调递增区间；
（2）在
中，内角
所对边的长分别是
，若
，求
的面积
的值．