如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在
轴上，它的一个顶点为
（0，
），且离心率等于
，过点
（0，2）的直线
与椭圆相交于
，
不同两点，点
在线段
上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设
，试求
的取值范围．
（本小题满分12分）已知函数
，
，且
点
处取得极值．
（Ⅰ）若关于
的方程
在区间
上有解，求
的取值范围；
（Ⅱ）证明：
．
（本小题满分12分）如图，椭圆的右焦点
与抛物线
的焦点重合，过且于x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线
与椭圆相交于不同两点A和B，且满足
（O为坐标原点），求实数t的取值范围．
（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
（Ⅰ）若某人接受挑战后，对其他3个人发出邀请，记这3个人中接受挑战的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；
（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下
列联表：
| 接受挑战 |
不接受挑战 |
合计 |
|
| 男性 |
45 |
15 |
60 |
| 女性 |
25 |
15 |
40 |
| 合计 |
70 |
30 |
100 |
根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？
附：
 |
0．100 |
0．050 |
0．010 |
0．001 |
 |
2．706 |
3．841 |
6．635 |
10．828 |
（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱
的各棱长均相等，
是
的中点，点
在侧棱
上，且
（Ⅰ）求证：
⊥
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列
，满足
成等比数列．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设
，证明：
．