如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，-优题课

题文

如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

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如图，拦水坝的横断面为梯形 $ABCD$ ， $AD = 3 m$ ，坝高 $AE = DF = 6 m$ ，坡角 $α = 45 °$ ， $β = 30 °$ ，求 $BC$ 的长．

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a}) \div (\frac{a^{2} + 1}{a} - 2)$ ，其中 $a = \sqrt{3} + 1$ ．

计算： ${(- 1)}^{3} + | 1 - \sqrt{2} | + \sqrt[3]{8}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $OABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ 的坐标分别为 $(6, 0)$ ， $(4, 3)$ ，经过 $B$ ， $C$ 两点的抛物线与 $x$ 轴的一个交点 $D$ 的坐标为 $(1, 0)$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若 $∠ AOC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$ ，交抛物线的对称轴于点 $F$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $PE + PF$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点 $A$ 作 $OE$ 的垂线交 $BC$ 于点 $H$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点 $M$ ， $N$ ，使得以点 $M$ ， $N$ ， $H$ ， $E$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 $M$ 的坐标，若不存在，说明理由．

为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

	甲型客车	乙型客车
载客量（人 $/$ 辆）	35	30
租金（元 $/$ 辆）	400	320

学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．

（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？

（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　8　辆；

（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

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