已知，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB-优题课

已知，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，且∠EDF＝45°．

（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形；
（2）猜想tan∠ADF的值，并写出求解过程．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：

（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量 $y$ （个 $)$ 与售价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系 $(12 ⩽ x ⩽ 30)$ ；

（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？

（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？

阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

$\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β$

$\tan (α \pm β) = \frac{\tan α \pm \tan β}{1 \overset{̅}{+} \tan α \tan β}$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

例： $\tan 75 ° = \tan (45 ° + 30 °) = \frac{\tan 45 ° + \tan 30 °}{1 - \tan 45 ° \tan 30 °} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 + \sqrt{3}$

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

（1）计算： $\sin 15 °$ ；

（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的 $C$ 处，在 $D$ 点测得纪念碑碑顶的仰角为 $75 °$ ， $DC$ 为 $\sqrt{3}$ 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．

在四个完全相同的小球上分别标上 1 ， 2 ， 3 ， 4 四个数字，然后装入一个不透明的口袋里搅匀，小明同学随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号．

（1）请你用画树状图或列表的方法分别表示小明同学摸球的所有可能出现的结果．

（2）按照小明同学的摸球方法，把第一次取出的小球的数字作为点 $M$ 的横坐标，把第二次取出的小球的数字作为点 $M$ 的纵坐标，试求出点 $M (x, y)$ 落在直线 $y = x$ 上的概率是多少？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 是 $AB$ 的中点， $DE ⊥ DF$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AC$ ， $BC$ 上，求证： $DE = DF$ ．

如图，二次函数 $y = - x^{2} + 3 x + m$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B (4, 0)$ ，另一个交点为 $A$ ，且与 $y$ 轴相交于 $C$ 点．

（1）求 $m$ 的值及 $C$ 点坐标；

（2）在直线 $BC$ 上方的抛物线上是否存在一点 $M$ ，使得它与 $B$ ， $C$ 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时 $M$ 点坐标；若不存在，请简要说明理由；

（3） $P$ 为抛物线上一点，它关于直线 $BC$ 的对称点为 $Q :$

①当四边形 $PBQC$ 为菱形时，求点 $P$ 的坐标；

②点 $P$ 的横坐标为 $t (0 < t < 4)$ ，当 $t$ 为何值时，四边形 $PBQC$ 的面积最大，请说明理由．