如图，直线l经过点A（1，0），且与双曲线y＝（x＞0）交于-优题课

如图，直线l经过点A（1，0），且与双曲线y＝（x＞0）交于点B（2，1），过点P（p，p－1）（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）于M，N两点．

（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S_△_AMN＝4S_△_APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似多边形的性质

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0, - \frac{4}{3})$ ， $OA = 1$ ， $OB = 4$ ，直线 $l$ 过点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ，交抛物线于点 $E$ ，且满足 $\tan ∠ OAD = \frac{3}{4}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $x$ 轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 运动，动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，沿射线 $AE$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $E$ 运动，当点 $P$ 运动到点 $A$ 时，点 $Q$ 也停止运动，设运动时间为 $t$ 秒．

①在 $P$ 、 $Q$ 的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使得 $ΔADC$ 与 $ΔPQA$ 相似，若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

②在 $P$ 、 $Q$ 的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使得 $ΔAPQ$ 与 $ΔCAQ$ 的面积之和最大？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $BC$ 、 $AC$ 边上，连接 $BE$ 、 $AD$ 交于点 $P$ ，设 $AC = kBD$ ， $CD = kAE$ ， $k$ 为常数，试探究 $∠ APE$ 的度数：

（1）如图1，若 $k = 1$ ，则 $∠ APE$ 的度数为　　；

（2）如图2，若 $k = \sqrt{3}$ ，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $∠ APE$ 的度数．

（3）如图3，若 $k = \sqrt{3}$ ，且 $D$ 、 $E$ 分别在 $CB$ 、 $CA$ 的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图， $P$ 是 $⊙ O$ 外的一点， $PA$ 、 $PB$ 是 $⊙ O$ 的两条切线， $A$ 、 $B$ 是切点， $PO$ 交 $AB$ 于点 $F$ ，延长 $BO$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，交 $PA$ 的延长交于点 $Q$ ，连接 $AC$ ．

（1）求证： $AC / / PO$ ；

（2）设 $D$ 为 $PB$ 的中点， $QD$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，若 $⊙ O$ 的半径为3， $CQ = 2$ ，求 $\frac{AE}{BE}$ 的值．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} + (1 - 5 m) x - 5 = 0 (m \neq 0)$ ．

（1）求证：无论 $m$ 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线 $y = m x^{2} + (1 - 5 m) x - 5$ 与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0)$ 两点，且 $| x_{1} - x_{2} | = 6$ ，求 $m$ 的值；

（3）若 $m > 0$ ，点 $P (a, b)$ 与 $Q (a + n, b)$ 在（2）中的抛物线上（点 $P$ 、 $Q$ 不重合），求代数式 $4 a^{2} - n^{2} + 8 n$ 的值．

某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 $y (^{°} C)$ 与时间 $x (h)$ 之间的函数关系，其中线段 $AB$ 、 $BC$ 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 $CD$ 表示恒温系统关闭阶段．

请根据图中信息解答下列问题：

（1）求这天的温度 $y$ 与时间 $x (0 ⩽ x ⩽ 24)$ 的函数关系式；

（2）求恒温系统设定的恒定温度；

（3）若大棚内的温度低于 $10^{°} C$ 时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？