（本题10分）如果抛物线过定点M（1，1），则称此抛物线为定-优题课

（本题10分）如果抛物线过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线。
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式。小敏写出了一个答案：，请你写出一个不同于小敏的答案；
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

先化简，再求值： $(2 a - \frac{12 a}{a + 2}) \div \frac{a - 4}{a^{2} + 4 a + 4}$ ，其中 $a$ 满足 $a^{2} + 2 a - 3 = 0$ ．

计算： $2^{- 1} + | \sqrt{6} - 3 | + 2 \sqrt{3} \sin 45 ° - {(- 2)}^{2020} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2020}$ ．

如图1，在等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ A = 120 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $AB$ 、 $AC$ 上， $AD = AE$ ，连接 $BE$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $DE$ 、 $BE$ 、 $BC$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $NM$ 、 $NP$ 的数量关系是　　， $∠ MNP$ 的大小为　　．

（2）探究证明

把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $MP$ 、 $BD$ 、 $CE$ ，判断 $ΔMNP$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $AD = 1$ ， $AB = 3$ ，请求出 $ΔMNP$ 面积的最大值．

如图，抛物线 $y = a x^{2} - 3 ax - 4 a$ 的图象经过点 $C (0, 2)$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧），连接 $BC$ ，直线 $y = kx + 1 (k > 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $BC$ 上方的抛物线交于点 $E$ ，与 $BC$ 交于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

（2） $\frac{EF}{DF}$ 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

型号

价格（元 $/$ 只）

项目

甲

乙

成本

售价

（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？

（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．