（本题6分）计算．-优题课

某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过 $m (30 < m ⩽ 100)$ 人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过 $m$ 人时，人均收费都按照 $m$ 人时的标准．设景点接待有 $x$ 名游客的某团队，收取总费用为 $y$ 元．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求 $m$ 的取值范围．

如图，大海中某灯塔 $P$ 周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 $A$ 处观察灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点 $B$ 处，这时观察灯塔 $P$ 恰好在北偏东 $45 °$ 方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x > x + 1 \\ 3 x < 2 (x + 1) \end{matrix}$ ．

计算： $2 \sin 30 ° + 3^{- 1} + {(\sqrt{2} - 1)}^{0} - \sqrt{4}$ ．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 6 cm$ ， $AD = 8 cm$ ，点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿对角线 $BD$ 向点 $D$ 匀速运动，速度为 $4 cm / s$ ，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ BD$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，以 $PQ$ 为一边作正方形 $PQMN$ ，使得点 $N$ 落在射线 $PD$ 上，点 $O$ 从点 $D$ 出发，沿 $DC$ 向点 $C$ 匀速运动，速度为 $3 cm / s$ ，以 $O$ 为圆心， $0.8 cm$ 为半径作 $⊙ O$ ，点 $P$ 与点 $O$ 同时出发，设它们的运动时间为 $t$ （单位： $s) (0 < t < \frac{8}{5})$ ．

（1）如图 1 ，连接 $DQ$ 平分 $∠ BDC$ 时， $t$ 的值为　　；

（2）如图 2 ，连接 $CM$ ，若 $ΔCMQ$ 是以 $CQ$ 为底的等腰三角形，求 $t$ 的值；

（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点 $O$ 始终在 $QM$ 所在直线的左侧；

②如图 3 ，在运动过程中，当 $QM$ 与 $⊙ O$ 相切时，求 $t$ 的值；并判断此时 $PM$ 与 $⊙ O$ 是否也相切？说明理由．