计算：-优题课

如图，有一池塘，要测池塘两端 $A$ ， $B$ 的距离，可先在平地上取一个点 $C$ ，从点 $C$ 不经过池塘可以直接到达点 $A$ 和 $B$ ．连接 $AC$ 并延长到点 $D$ ，使 $CD = CA$ ．连接 $BC$ 并延长到点 $E$ ，使 $CE = CB$ ．连接 $DE$ ，那么量出 $DE$ 的长就是 $A$ ， $B$ 的距离．为什么？

先化简，再求值： $(m + \frac{4 m + 4}{m}) \div \frac{m + 2}{m^{2}}$ ，其中 $m = \sqrt{2} - 2$ ．

解不等式 $\frac{4 x - 1}{3} - x > 1$ ，并在数轴上表示解集．

问题情境：如图1，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 为边 $BC$ 上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），垂直于 $AE$ 的一条直线 $MN$ 分别交 $AB$ 、 $AE$ 、 $CD$ 于点 $M$ 、 $P$ 、 $N$ ．判断线段 $DN$ 、 $MB$ 、 $EC$ 之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足 $P$ 恰好为 $AE$ 的中点，连接 $BD$ ，交 $MN$ 于点 $Q$ ，连接 $EQ$ ，并延长交边 $AD$ 于点 $F$ ．求 $∠ AEF$ 的度数；

（2）如图3，当垂足 $P$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上时，连接 $AN$ ，将 $ΔAPN$ 沿着 $AN$ 翻折，点 $P$ 落在点 $P^{'}$ 处，若正方形 $ABCD$ 的边长为4， $AD$ 的中点为 $S$ ，求 $P^{'} S$ 的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形 $ABCD$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别为边 $AB$ 、 $CD$ 上的点，将正方形 $ABCD$ 沿着 $MN$ 翻折，使得 $BC$ 的对应边 $B^{'} C^{'}$ 恰好经过点 $A$ ， $C^{'} N$ 交 $AD$ 于点 $F$ ．分别过点 $A$ 、 $F$ 作 $AG ⊥ MN$ ， $FH ⊥ MN$ ，垂足分别为 $G$ 、 $H$ ．若 $AG = \frac{5}{2}$ ，请直接写出 $FH$ 的长．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $L_{1} : y = x^{2} + bx + c$ 过点 $C (0, - 3)$ ，与抛物线 $L_{2} : y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + 2$ 的一个交点为 $A$ ，且点 $A$ 的横坐标为2，点 $P$ 、 $Q$ 分别是抛物线 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 上的动点．

（1）求抛物线 $L_{1}$ 对应的函数表达式；

（2）若以点 $A$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 $P$ 的坐标；

（3）设点 $R$ 为抛物线 $L_{1}$ 上另一个动点，且 $CA$ 平分 $∠ PCR$ ．若 $OQ / / PR$ ，求出点 $Q$ 的坐标．