（本小题满分10分）已知，如图所示，直线MN交⊙O于A，B两-优题课

（1）计算： $\sqrt{12} + 3 \tan 30 ° - | 2 - \sqrt{3} | + {(π - 1)}^{0} + 8^{2021} \times {(- 0.125)}^{2021}$ ；

（2）化简求值： $\frac{2 n}{m + 2 n} + \frac{m}{2 n - m} + \frac{4 mn}{4 n^{2} - m^{2}}$ ，其中 $\frac{m}{n} = \frac{1}{5}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 2$ 与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $C$ 点的坐标为 $(1, 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $A$ ， $B$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式 $a x^{2} + (b - 1) x + c > 2$ 的解集；

（3）点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 作直线 $AB$ 的垂线段，垂足为 $Q$ 点．当 $PQ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求 $P$ 点的坐标．

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 $60 °$ ， $30 °$ ， $15 °$ 等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片 $ABCD$ ，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，得到折痕 $EF$ ，把纸片展开（如图1 $)$ ．

第二步：再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $EF$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $BM$ ，同时得到线段 $BN$ （如图 $2)$ ．

猜想论证：

（1）若延长 $MN$ 交 $BC$ 于点 $P$ ，如图3所示，试判定 $ΔBMP$ 的形状，并证明你的结论．

拓展探究：

（2）在图3中，若 $AB = a$ ， $BC = b$ ，当 $a$ ， $b$ 满足什么关系时，才能在矩形纸片 $ABCD$ 中剪出符合（1）中结论的三角形纸片 $BMP$ ？

为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在 $3 ~ 7$ 吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：

月平均用水量（吨 $)$	3	4	5	6	7
频数（户数）	4	$a$	9	10	7
频率	0.08	0.40	$b$	$c$	0.14

请根据统计表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　．

（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是　　，众数是　　，中位数是　　．

（3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？

（4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．

如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $AD = 2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $AB = CD)$ ，将左边的门 $AB B_{1} A_{1}$ 绕门轴 $A A_{1}$ 向里面旋转 $35 °$ ，将右边的门 $CD D_{1} C_{1}$ 绕门轴 $D D_{1}$ 向外面旋转 $45 °$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.6$ ， $\cos 35 ° \approx 0.8$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4)$