（本小题满分10分）已知，如图所示，直线MN交⊙O于A，B两-优题课

如图，已知锐角 $ΔABC$ ，点 $D$ 是 $AB$ 边上的一定点，请用尺规在 $AC$ 边上求作一点 $E$ ，使 $ΔADE$ 与 $ΔABC$ 相似．（作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法． $)$

特例感知

（1）如图1，对于抛物线 $y_{1} = - x^{2} - x + 1$ ， $y_{2} = - x^{2} - 2 x + 1$ ， $y_{3} = - x^{2} - 3 x + 1$ ，下列结论正确的序号是　　；

①抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 都经过点 $C (0, 1)$ ；

②抛物线 $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的对称轴由抛物线 $y_{1}$ 的对称轴依次向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位得到；

③抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 与直线 $y = 1$ 的交点中，相邻两点之间的距离相等．

形成概念

（2）把满足 $y_{n} = - x^{2} - nx + 1 (n$ 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．

知识应用

在（2）中，如图2．

①“系列平移抛物线”的顶点依次为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $\dots$ ， $P_{n}$ ，用含 $n$ 的代数式表示顶点 $P_{n}$ 的坐标，并写出该顶点纵坐标 $y$ 与横坐标 $x$ 之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $\dots$ ， $C_{n}$ ，其横坐标分别为 $- k - 1$ ， $- k - 2$ ， $- k - 3$ ， $\dots$ ， $- k - n (k$ 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．

③在②中，直线 $y = 1$ 分别交“系列平移抛物线”于点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ ， $A_{n}$ ，连接 $C_{n} A_{n}$ ， $C_{n - 1} A_{n - 1}$ ，判断 $C_{n} A_{n}$ ， $C_{n - 1} A_{n - 1}$ 是否平行？并说明理由．

在图1，2，3中，已知 $▱ ABCD$ ， $∠ ABC = 120 °$ ，点 $E$ 为线段 $BC$ 上的动点，连接 $AE$ ，以 $AE$ 为边向上作菱形 $AEFG$ ，且 $∠ EAG = 120 °$ ．

（1）如图1，当点 $E$ 与点 $B$ 重合时， $∠ CEF =$ 　　 $°$ ；

（2）如图2，连接 $AF$ ．

①填空： $∠ FAD$ 　　 $∠ EAB$ （填“ $>$ ”，“ $<$ “，“ $=$ ” $)$ ；

②求证：点 $F$ 在 $∠ ABC$ 的平分线上；

（3）如图3，连接 $EG$ ， $DG$ ，并延长 $DG$ 交 $BA$ 的延长线于点 $H$ ，当四边形 $AEGH$ 是平行四边形时，求 $\frac{BC}{AB}$ 的值．

数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：

如图1，将长为 $12 cm$ 的铅笔 $AB$ 斜靠在垂直于水平桌面 $AE$ 的直尺 $FO$ 的边沿上，一端 $A$ 固定在桌面上，图2是示意图．

活动一

如图3，将铅笔 $AB$ 绕端点 $A$ 顺时针旋转， $AB$ 与 $OF$ 交于点 $D$ ，当旋转至水平位置时，铅笔 $AB$ 的中点 $C$ 与点 $O$ 重合．

数学思考

（1）设 $CD = xcm$ ，点 $B$ 到 $OF$ 的距离 $GB = ycm$ ．

①用含 $x$ 的代数式表示： $AD$ 的长是　 $(6 + x)$ 　 $cm$ ， $BD$ 的长是　　 $cm$ ；

② $y$ 与 $x$ 的函数关系式是　　，自变量 $x$ 的取值范围是　　．

活动二

（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格

$x (cm)$	6	5	4	3.5	3	2.5	2	1	0.5	0
$y (cm)$	0	0.55	1.2	1.58		2.47	3	4.29	5.08

②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点 $(x, y)$ ．

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．

数学思考

（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 $B - A - O$ 表示固定支架， $AO$ 垂直水平桌面 $OE$ 于点 $O$ ，点 $B$ 为旋转点， $BC$ 可转动，当 $BC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转时，投影探头 $CD$ 始终垂直于水平桌面 $OE$ ，经测量： $AO = 6.8 cm$ ， $CD = 8 cm$ ， $AB = 30 cm$ ， $BC = 35 cm$ ．（结果精确到 $0.1)$ ．

（1）如图2， $∠ ABC = 70 °$ ， $BC / / OE$ ．

①填空： $∠ BAO =$ 　　 $°$ ．

②求投影探头的端点 $D$ 到桌面 $OE$ 的距离．

（2）如图3，将（1）中的 $BC$ 向下旋转，当投影探头的端点 $D$ 到桌面 $OE$ 的距离为 $6 cm$ 时，求 $∠ ABC$ 的大小．

（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\sin 36.8 ° \approx 0.60$ ， $\cos 53.2 ° \approx 0.60)$