在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器-优题课

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 $60 °$ ， $30 °$ ， $15 °$ 等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片 $ABCD$ ，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，得到折痕 $EF$ ，把纸片展开（如图1 $)$ ．

第二步：再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $EF$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $BM$ ，同时得到线段 $BN$ （如图 $2)$ ．

猜想论证：

（1）若延长 $MN$ 交 $BC$ 于点 $P$ ，如图3所示，试判定 $ΔBMP$ 的形状，并证明你的结论．

拓展探究：

（2）在图3中，若 $AB = a$ ， $BC = b$ ，当 $a$ ， $b$ 满足什么关系时，才能在矩形纸片 $ABCD$ 中剪出符合（1）中结论的三角形纸片 $BMP$ ？

科目数学题型解答题难度较难

知识点：解直角三角形矩形的性质翻折变换（折叠问题）图形的剪拼等边三角形的判定与性质