解不等式：，并把解集表示在数轴上．-优题课

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $B$ 点坐标为 $(4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 4)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴下方的抛物线上，过点 $P$ 的直线 $y = x + m$ 与直线 $BC$ 交于点 $E$ ，与 $y$ 轴交于点 $F$ ，求 $PE + EF$ 的最大值；

（3）点 $D$ 为抛物线对称轴上一点．

①当 $ΔBCD$ 是以 $BC$ 为直角边的直角三角形时，直接写出点 $D$ 的坐标；

②若 $ΔBCD$ 是锐角三角形，直接写出点 $D$ 的纵坐标 $n$ 的取值范围．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 为线段 $OB$ 上一点（不与 $O$ ， $B$ 重合），作 $EC ⊥ OB$ ，交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，作直径 $CD$ ，过点 $C$ 的切线交 $DB$ 的延长线于点 $P$ ，作 $AF ⊥ PC$ 于点 $F$ ，连接 $CB$ ．

（1）求证： $AC$ 平分 $∠ FAB$ ；

（2）求证： $B C^{2} = CE \cdot CP$ ；

（3）当 $AB = 4 \sqrt{3}$ 且 $\frac{CF}{CP} = \frac{3}{4}$ 时，求劣弧 $\hat{BD}$ 的长度．

如图， $A (4, 3)$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限图象上一点，连接 $OA$ ，过 $A$ 作 $AB / / x$ 轴，截取 $AB = OA (B$ 在 $A$ 右侧），连接 $OB$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点 $P$ ．

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

（2）求点 $B$ 的坐标；

（3）求 $ΔOAP$ 的面积．

某学校计划购买排球、篮球，已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总费用为420元．

（1）求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？

（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60个，并且篮球的数量不超过排球数量的2倍．求至少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 分别是 $AB$ 、 $AC$ 的中点，连接 $CD$ ，过 $E$ 作 $EF / / DC$ 交 $BC$ 的延长线于 $F$ ．

（1）证明：四边形 $CDEF$ 是平行四边形；

（2）若四边形 $CDEF$ 的周长是 $25 cm$ ， $AC$ 的长为 $5 cm$ ，求线段 $AB$ 的长度．