如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，A-优题课

如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：圆幂定理

如图， $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ， $BD ⊥ AC$ 于点 $D$ ， $∠ FAC = \frac{1}{2} ∠ ABC$ ，且 $∠ FAC$ 在 $AC$ 下方．点 $P$ ， $Q$ 分别是射线 $BD$ ，射线 $AF$ 上的动点，且点 $P$ 不与点 $B$ 重合，点 $Q$ 不与点 $A$ 重合，连接 $CQ$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ CQ$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ．

（1）若 $∠ ABC = 60 °$ ， $BP = AQ$ ．

①如图1，当点 $P$ 在线段 $BD$ 上运动时，请直接写出线段 $DE$ 和线段 $AQ$ 的数量关系和位置关系；

②如图2，当点 $P$ 运动到线段 $BD$ 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

（2）若 $∠ ABC = 2 α \neq 60 °$ ，请直接写出当线段 $BP$ 和线段 $AQ$ 满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含 $α$ 的三角函数表示）．

俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于 $30 %$ ．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为 $y$ 本，销售单价为 $x$ 元．

（1）请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式和自变量 $x$ 的取值范围；

（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 $w$ 元最大？最大利润是多少元？

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ ，点 $D$ 为 $⊙ O$ 上一点，且 $CD = CB$ ，连接 $DO$ 并延长交 $CB$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）判断直线 $CD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BE = 4$ ， $DE = 8$ ，求 $AC$ 的长．

为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 $\frac{3}{2}$ 倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．

（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

如图， $BC$ 是路边坡角为 $30 °$ ，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆 $CD$ 的顶端 $D$ 处有一探射灯，射出的边缘光线 $DA$ 和 $DB$ 与水平路面 $AB$ 所成的夹角 $∠ DAN$ 和 $∠ DBN$ 分别是 $37 °$ 和 $60 °$ （图中的点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $M$ 、 $N$ 均在同一平面内， $CM / / AN)$ ．

（1）求灯杆 $CD$ 的高度；

（2）求 $AB$ 的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sqrt{3} = 1.73$ ． $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75)$