市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式-优题课

市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式随机调查了该部分闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：

（1）本次共调查了多少名？
（2）如果该共有1500名，请你估计该经常闯红灯的大约有多少人；
（3）针图中反映的信息谈谈你的认识．（不超过30个字）。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：统计量的选择

某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　　（填"普查"或"抽样调查" $)$ ，王老师所调查的4个班共征集到作品　　件，并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，表示 $C$ 班的扇形圆心角的度数为　　；

（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 1} \div (1 + \frac{1}{x - 1})$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，且 $OC = 2 OA$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ．直线 $y = mx + n$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线及直线 $BC$ 的函数表达式；

（2）点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，当 $FA + FC$ 的值最小时，求出点 $F$ 的坐标及 $FA + FC$ 的最小值；

（3）连接 $AC$ ，若点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧一点，点 $Q$ 是直线 $BC$ 上一点，试探究是否存在以点 $E$ 为直角顶点的 $Rt Δ PEQ$ ，且满足 $\tan ∠ EQP = \tan ∠ OCA$ ．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

有公共顶点 $A$ 的正方形 $ABCD$ 与正方形 $AEGF$ 按如图1所示放置，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $AB$ 和 $AD$ 上，连接 $BF$ ， $DE$ ， $M$ 是 $BF$ 的中点，连接 $AM$ 交 $DE$ 于点 $N$ ．

【观察猜想】

（1）线段 $DE$ 与 $AM$ 之间的数量关系是　　，位置关系是　　；

【探究证明】

（2）将图1中的正方形 $AEGF$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ ，点 $G$ 恰好落在边 $AB$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $DE$ 与 $AM$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

如图，已知 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．

①作 $∠ BAC$ 的角平分线 $AD$ ，交 $BC$ 于点 $D$ ；

②作线段 $AD$ 的垂直平分线 $EF$ 与 $AB$ 相交于点 $O$ ；

③以点 $O$ 为圆心，以 $OD$ 长为半径画圆，交边 $AB$ 于点 $M$ ．

（2）在（1）的条件下，求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）若 $AM = 4 BM$ ， $AC = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径．