在母亲节前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后-优题课

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1， $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 在 $AB$ 上，且 $∠ BAC = 2 ∠ DCB$ ，求证： $AC = AD$ ．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2，作 $AE$ 平分 $∠ CAB$ ，与 $CD$ 相交于点 $E$ ．

方法2：如图3，作 $∠ DCF = ∠ DCB$ ，与 $AB$ 相交于点 $F$ ．

（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 $AC = AD$ ．

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图4， $ΔABC$ 中，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $BC$ 上，且 $∠ BDE = 2 ∠ ABC$ ，点 $F$ 在 $BD$ 上，且 $∠ AFE = ∠ BAC$ ，延长 $DC$ 、 $FE$ ，相交于点 $G$ ，且 $∠ DGF = ∠ BDE$ ．

①在图中找出与 $∠ DEF$ 相等的角，并加以证明；

②若 $AB = kDF$ ，猜想线段 $DE$ 与 $DB$ 的数量关系，并证明你的猜想．

如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ BAD = 90 °$ ，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，且 $∠ DEC = ∠ BAC$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC / / DE$ ，当 $AB = 8$ ， $CE = 2$ 时，求 $AC$ 的长．

【观察】 $1 \times 49 = 49$ ， $2 \times 48 = 96$ ， $3 \times 47 = 141$ ， $\dots$ ， $23 \times 27 = 621$ ， $24 \times 26 = 624$ ， $25 \times 25 = 625$ ， $26 \times 24 = 624$ ， $27 \times 23 = 621$ ， $\dots$ ， $47 \times 3 = 141$ ， $48 \times 2 = 96$ ， $49 \times 1 = 49$ ．

【发现】根据你的阅读回答问题：

（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为　　；

（2）设参与上述运算的第一个因数为 $a$ ，第二个因数为 $b$ ，用等式表示 $a$ 与 $b$ 的数量关系是　　．

【类比】观察下列两数的积： $1 \times 59$ ， $2 \times 58$ ， $3 \times 57$ ， $4 \times 56$ ， $\dots$ ， $m \times n$ ， $\dots$ ， $56 \times 4$ ， $57 \times 3$ ， $58 \times 2$ ， $59 \times 1$ ．

猜想 $mn$ 的最大值为　　，并用你学过的知识加以证明．

甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数．

某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$
类型	足球	羽毛球	乒乓球	篮球	排球	其他
人数		10	4		6	2

根据以上信息，解答下列问题：

（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有　　人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为　　 $%$ ；

（2）被调查学生的总数为　　人，其中，最喜欢篮球的有　　人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为　　 $%$ ；

（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数．