如图，某污水处理厂要在一个矩形
的池底水平铺设污水净化管道（直角
，
是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是
的中点，
分别落在
上，且
，设
．
（1）试将污水管道的长度
表示成
的函数，并写出定义域；
（2）当管道长度为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．
．（本小题满分12分）
一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅一个是正确的。学生小张只能确定其
中10道题的正确答案，其余2道题完全靠
猜测回答。
（I）求小张仅答错一道选择题的概率；
（II）小张所在班级共有60人，此次考试选择题得分情况统计表：
| 得分 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
| 百分率 |
15% |
10% |
25% |
40% |
10% |
现采用分层
抽样的方法从此班抽取20人的试卷
进行选
择题质量分析。
（i）应抽取多少张选择题得60分的试卷
？
（ii）若小张选择题得60分，求他的试卷
被抽到的概率。
本小题满分12分）
港口A北偏东30°方向的C处有一检查
站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？
已知函数
在
上是减函数，在
上是增函数，函数
在
上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求
的值； 
（2）求
的取值范围；
（3）试探究直线
与函数
的图像交点个数的情况，并说明理由．
.已知数列
是
正数组成的数列，其前n项和为
，对于一切
均有
与2的等差中项等于与2的等比中项。
（1）计算
并由此猜想的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想。
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为
（1）⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程。