仓库里有15吨钢材。第一次用去总数的20%，第二次用去剩下的-优题课

已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象开口向上，且经过点 $A (0, \frac{3}{2})$ ， $B (2, - \frac{1}{2})$ ．

（1）求 $b$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 在 $1 ⩽ x ⩽ 3$ 时， $y$ 的最大值为1，求 $a$ 的值；

（3）将线段 $AB$ 向右平移2个单位得到线段 $A' B'$ ．若线段 $A' B'$ 与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c + 4 a - 1$ 仅有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

在等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 是 $BC$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连结 $AD$ ．

（1）如图1，若 $∠ C = 60 °$ ，点 $D$ 关于直线 $AB$ 的对称点为点 $E$ ，连结 $AE$ ， $DE$ ，则 $∠ BDE =$ 　　；

（2）若 $∠ C = 60 °$ ，将线段 $AD$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $AE$ ，连结 $BE$ ．

①在图2中补全图形；

②探究 $CD$ 与 $BE$ 的数量关系，并证明；

（3）如图3，若 $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE} = k$ ，且 $∠ ADE = ∠ C$ ．试探究 $BE$ 、 $BD$ 、 $AC$ 之间满足的数量关系，并证明．

如图，已知点 $C$ 是以 $AB$ 为直径的半圆上一点， $D$ 是 $AB$ 延长线上一点，过点 $D$ 作 $BD$ 的垂线交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $CD$ ，且 $CD = ED$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan ∠ DCE = 2$ ， $BD = 1$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标 $y$ 随时间 $x$ （分钟）变化的函数图象如图所示，当 $0 ⩽ x < 10$ 和 $10 ⩽ x < 20$ 时，图象是线段；当 $20 ⩽ x ⩽ 45$ 时，图象是反比例函数的一部分．

（1）求点 $A$ 对应的指标值；

（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

如图，直线 $l$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象于 $P$ 、 $Q$ 两点．若 $AB = 2 BP$ ，且 $ΔAOB$ 的面积为4．

（1）求 $k$ 的值；

（2）当点 $P$ 的横坐标为 $- 1$ 时，求 $ΔPOQ$ 的面积．