（本题8分）某校七（2）班40名同学为希望工程捐款,共捐款1-优题课

如图， $∠ BPD = 120 °$ ，点 $A$ 、 $C$ 分别在射线 $PB$ 、 $PD$ 上， $∠ PAC = 30 °$ ， $AC = 2 \sqrt{3}$ ．

（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 $A$ 、 $C$ 两点分别与射线 $PB$ 和 $PD$ 相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；

（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；

（3）求所得的劣弧与线段 $PA$ 、 $PC$ 围成的封闭图形的面积．

习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．

（1）求进馆人次的月平均增长率；

（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀， $80 ~ 89$ 分为良好， $60 ~ 79$ 分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行解析．成绩如下：

七年级	80	74	83	63	90	91	74	61	82	62
八年级	74	61	83	91	60	85	46	84	74	82

（1）根据上述数据，补充完成下列表格．

整理数据：

	优秀	良好	及格	不及格
七年级	2	3	5	0
八年级	1	4	4	1

解析数据：

年级	平均数	众数	中位数
七年级	76	74	77
八年级		74

（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？

（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．

先化简，再求值： $(\frac{2}{m} - \frac{1}{n}) \div (\frac{m^{2} + n^{2}}{mn} - \frac{5 n}{m}) \cdot (\frac{m}{2 n} + \frac{2 n}{m} + 2)$ ，其中 $\sqrt{m + 1} + {(n - 3)}^{2} = 0$ ．

如图①，抛物线 $y = - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{2} x + 4$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ， $C$ ，将直线 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，所得直线与 $x$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求直线 $AD$ 的函数解析式；

（2）如图②，若点 $P$ 是直线 $AD$ 上方抛物线上的一个动点

①当点 $P$ 到直线 $AD$ 的距离最大时，求点 $P$ 的坐标和最大距离；

②当点 $P$ 到直线 $AD$ 的距离为 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ 时，求 $\sin ∠ PAD$ 的值．