（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，-优题课

（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲、乙、丙面试合格的概率分别是，，，且面试是否合格互不影响．求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望．

科目数学题型解答题难度中等

（本小题满分10分）已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P，PD^平面ABCD，PD=8，求PB与平面ABCD所成的角的大小；

已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_{1} = λ$ ， $a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n} + n - 4$ ， $b_{n} = (- 1)^{n} (a_{n} - 3 n + 21)$ ，其中 $λ$ 为实数， $n$ 为正整数。

（Ⅰ）证明：对任意的实数 $λ$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 不是等比数列；

（Ⅱ）设 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在实数 $λ$ ，使得对任意正整数 $n$ ，都有 $S_{n} > - 12$ ?若存在，求 $λ$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个焦点为 $F : (- 2, 0), F : (2, 0)$ $点 P (3, \sqrt{7})$ 的曲线 $C$ 上.
（Ⅰ）求双曲线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）记 $O$ 为坐标原点，过点 $Q (0, 2)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于不同的两点 $E, F$ ，若 $△ O E F$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ 求直线 $l$ 的方程

如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm ^2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥ 侧面 A_{1} A B B_{1}$ .
（Ⅰ）求证： $A B ⊥ B C$ .

（Ⅱ）若 $A A_{1} = A C = a$ ，直线 $A C$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成的角为 $θ$ ，二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小为 $φ$ ，求证： $θ + φ = \frac{π}{2}$ .

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