如图1，在△ABC中，CACB，∠ACB90°，D是△ABC-优题课

如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．
（1）①依题意补全图形；
②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．
（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：对称式和轮换对称式

如图所示，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $BN$ 、 $CN$ ，求 $ΔBCN$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $CM$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $EM$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 为直径，点 $C$ 为圆上一点，延长 $AB$ 到点 $D$ ，使 $CD = CA$ ，且 $∠ D = 30 °$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）分别过 $A$ 、 $B$ 两点作直线 $CD$ 的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $F$ 两点，过 $C$ 点作 $AB$ 的垂线，垂足为点 $G$ ．求证： $C G^{2} = AE \cdot BF$ ．

某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．

（1）设该商店购进甲型平板电脑 $x$ 台，请写出全部售出后该商店获利 $y$ 与 $x$ 之间函数表达式．

（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．

定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是　　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $AC ⊥ BD$ ，过点 $D$ 作 $BD$ 垂线交 $BC$ 的延长线于点 $E$ ，且 $∠ DBC = 45 °$ ，证明：四边形 $ABCD$ 是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ 中， $∠ BCD = 60 °$ ．求 $⊙ O$ 的半径．

如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树 $A$ 点处测得古树顶端 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，然后向古树底端 $C$ 步行20米到达点 $B$ 处，测得古树顶端 $D$ 的仰角为 $45 °$ ，且点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一直线上，求古树 $CD$ 的高度．（已知： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果保留整数）