如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（﹣1，0），B（3，-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D．连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果点P的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请求出点P′的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的.某市用水收费的方法是：水费 $=$ 基本费十超额费十定额损耗费.若每月用水量不超过最低限量 $a m^{3}$ 时，只付基本费 $8$ 元和每月的定额损耗费 $c$ 元；若用水量超过 $a m^{3}$ 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付 $b$ 元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过 $5$ 元.

（1）当月用水量为 $x m^{3}$ 时，支付费用为 $y$ 元，写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；

（2）该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中数据求 $a ， b ， c$ .

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC ， ∠ B = 90^{\circ} ， AB = 6 \sqrt{3} cm ， AD = 18 cm ， BC = 24 cm$ .点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1 cm / s$ 的速度向 $D$ 点运动；点 $Q$ 从点 $C$ 同时出发，以 $3 cm / s$ 的速度向点 $B$ 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为 $t (s)$ .

（1） $t$ 为何值时，四边形 $ABQP$ 是矩形?

（2） $t$ 为何值时，四边形 $PQCD$ 是平行四边形?

（3）在其它条件不变的情况下，能否通过改变点 $Q$ 的运动速度，使得四边形 $PQCD$ 是菱形?

设 $x = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} ， y = \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} ， n$ 为自然数，如果 $2 x^{2} + 197 xy + 2 y^{2} = 1993$ 成立，求 $n$ 的值.

为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

（1）若甲用户 $3$ 月份的用气量为 $60 m^{3}$ ，则应缴费＿＿＿＿＿元；

（2）若调价后每月支出的燃气费为 $y$ （元），每月的用气量为 $x$ （ $m^{3}$ ）， $y$ 与 $x$ 之间的关系如下图所示，求 $a$ 的值及 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若乙用户 $2 ， 3$ 月份共用气 $175 m^{3}$ （ $3$ 月份用气量低于 $2$ 月份用气量），共缴费 $455$ 元，乙用户 $2 ， 3$ 月份的用气量各是多少？

某商场计划采购甲、乙、丙三种型号的“格力”牌空调共 $25$ 台.三种型号的空调进价和售价如下表：

商场计划投入总资金 $5$ 万元，所购进的甲、丙型号空调数量相同，乙型号数量不超过甲型号数量的一半，若设购买甲型号空调 $x$ 台，所有型号空调全部售出后获得的总利润为 $W$ 元.

（1）求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）商场如何采购空调才能获得最大利润

（3）由于原材料上涨，商场决定将丙型号空调的售价提高 $a$ 元（ $a \geq 100$ ），其余型号售价不变，则商场又该如何采购才能获得最大利润？