（本题8分）计算：（1）（2）-优题课

如图，已知抛物线 $y = a x^{2}$ 过点 $A (- 3, \frac{9}{4})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知直线 $l$ 过点 $A$ ， $M (\frac{3}{2}$ ， $0)$ 且与抛物线交于另一点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，求证： $M C^{2} = MA \cdot MB$ ；

（3）若点 $P$ ， $D$ 分别是抛物线与直线 $l$ 上的动点，以 $OC$ 为一边且顶点为 $O$ ， $C$ ， $P$ ， $D$ 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 $P$ 点坐标．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上的一点， $D$ 是 $AB$ 上的一点， $DE ⊥ AB$ 于 $D$ ， $DE$ 交 $BC$ 于 $F$ ，且 $EF = EC$ ．

（1）求证： $EC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD = 4$ ， $BC = 8$ ，圆的半径 $OB = 5$ ，求切线 $EC$ 的长．

今年 $2 - 4$ 月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．

（1）轻症患者的人数是多少？

（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？

（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？

（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 $B$ 、 $D$ 两位患者的概率．

如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆 $BC$ 的底部支撑点 $B$ 在水平线 $AD$ 的下方， $AB$ 与水平线 $AD$ 之间的夹角是 $5 °$ ，卸货时，车厢与水平线 $AD$ 成 $60 °$ ，此时 $AB$ 与支撑顶杆 $BC$ 的夹角为 $45 °$ ，若 $AC = 2$ 米，求 $BC$ 的长度．（结果保留一位小数）

（参考数据： $\sin 65 ° \approx 0.91$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14$ ， $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$

已知一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象经过 $A (3, 18)$ 和 $B (- 2, 8)$ 两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）若一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象只有一个交点，求交点坐标．