某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了-优题课

某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了先进设备，工作效率是原来的2倍，一共用了30天完成任务，求引进新设备前每天平均修路多少米．

科目数学题型解答题难度中等

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为 $P$ ．已知 $B (1, 0)$ ， $C (0, - 3)$ ．请答案下列问题：

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点 $P$ 的坐标；

（2）抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ，连接 $AP$ ， $AP$ 的垂直平分线交直线 $PE$ 于点 $M$ ，则线段 $EM$ 的长为　 $\frac{3}{2}$ 　．

注：抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，顶点坐标是 $(- \frac{b}{2 a}$ ， $\frac{4 ac - b^{2}}{4 a})$ ．

先化简，再求值： $(1 - \frac{4}{x^{2}}) \div \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2}}$ ，其中 $x = - \tan 45 °$ ．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $OABC$ 的边 $OC$ 在 $x$ 轴上， $OA$ 在 $y$ 轴上． $O$ 为坐标原点， $AB / / OC$ ，线段 $OA$ ， $AB$ 的长分别是方程 $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ 的两个根 $(OA < AB)$ ， $\tan ∠ OCB = \frac{4}{3}$ ．

（1）求点 $B$ ， $C$ 的坐标；

（2） $P$ 为 $OA$ 上一点， $Q$ 为 $OC$ 上一点， $OQ = 5$ ，将 $ΔPOQ$ 翻折，使点 $O$ 落在 $AB$ 上的点 $O'$ 处，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的一个分支过点 $O'$ ．求 $k$ 的值；

（3）在（2）的条件下， $M$ 为坐标轴上一点，在平面内是否存在点 $N$ ，使以 $O'$ ， $Q$ ， $M$ ， $N$ 为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某商场准备购进 $A$ 、 $B$ 两种型号电脑，每台 $A$ 型号电脑进价比每台 $B$ 型号电脑多500元，用40000元购进 $A$ 型号电脑的数量与用30000元购进 $B$ 型号电脑的数量相同，请解答下列问题：

（1） $A$ ， $B$ 型号电脑每台进价各是多少元？

（2）若每台 $A$ 型号电脑售价为2500元，每台 $B$ 型号电脑售价为1800元，商场决定同时购进 $A$ ， $B$ 两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润 $y$ （单位：元）与 $A$ 型号电脑 $x$ （单位：台）的函数关系式，若商场用不超过36000元购进 $A$ ， $B$ 两种型号电脑， $A$ 型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？

（3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买 $A$ ， $B$ 两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠 $A$ ， $B$ 型号电脑总数最多是多少台．

$ΔABC$ 中，点 $D$ 在直线 $AB$ 上．点 $E$ 在平面内，点 $F$ 在 $BC$ 的延长线上， $∠ E = ∠ BDC$ ， $AE = CD$ ， $∠ EAB + ∠ DCF = 180 °$ ；

（1）如图①，求证 $AD + BC = BE$ ；

（2）如图②、图③，请分别写出线段 $AD$ ， $BC$ ， $BE$ 之间的数量关系，不需要证明；

（3）若 $BE ⊥ BC$ ， $\tan ∠ BCD = \frac{3}{4}$ ， $CD = 10$ ，则 $AD =$ 　　．

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