甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向-优题课

甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：

（1）求线段CD对应的函数表达式；
（2）求E点的坐标，并解释E点的实际意义；
（3）若已知轿车比货车晚出发2分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x= 小时，货车和轿车相距30千米．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

几何模型：

条件：如图①， $A, B$ . 是直线 $l$ 同旁的两个定点

问题：在直线 $l$ 上确定一点 $P$ ，使 $PA + PB$ 的值最小.

方法：作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ 交 $l$ 于点 $P$ ，则 $PA + PB = A^{'} B$ 的值最小（不必证明）.

模型应用：

（1）如图②，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$ ， $E$ 为 $AB$ 的中点， $P$ 是 $AC$ 上一动点.连接 $BD$ ，由正方形对称性可知， $B$ 与 $D$ 关于直线 $AC$ 对称.连接 $ED$ 交于 $AC$ 于 $P$ ，则 $PB + PE$ 的最小值是＿＿＿＿＿；

（2）如图③， $∠ AOB = 45 °, P$ 是 $∠ AOB$ 内一点， $PO = 10, Q, R$ 分别是 $OA, OB$ 上的动点，求 $△ PQR$ 周长的最小值.

如图所示， $C$ 为线段 $BD$ 上一动点，分别过点 $B, D$ 作 $AB ⊥ BD$ ， $ED ⊥ BD$ ，连接 $AC, EC$ .已知 $AB = 5, DE = 1, BD = 8$ ，设 $CD = x$ .

（1）用含 $x$ 的代数式表示 $AC + CE$ 的长；

（2）请问点 $C$ 满足什么条件时， $AC + CE$ 的值最小?

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9}$ 的最小值.

如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °, AB = AC, E, F$ 分别是 $BC$ 上两点，若 $∠ EAF = 45 °$ ，试判断 $BE, CF, EF$ 之间的数量关系，并说明理由.

如图，点 $P$ 是等边三角形 $ABC$ 内的一点，连接 $PA, PB, PC$ ，以 $BP$ 为边作 $∠ PBQ = 60^{\circ}$ ，且 $BQ = BP$ ，连接 $CQ$ .

（1）观察并猜想 $AP$ 与 $CQ$ 之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）若 $PA : PB : PC = 3 : 4 : 5$ ，连接 $PQ$ ，试判断 $△ PQC$ 的形状，并说明理由.

已知 $△ ABC$ 为等腰直角三角形， $AB = AC, D$ 为斜边 $BC$ 的中点， $E, F$ 分别是 $AB, AC$ 边上的点，且 $DE ⊥ DF$ .若 $BE = 12, CF = 5$ .求 $△ DEF$ 的面积.