（本题12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩-优题课

题文

（本题12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．

（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P—ABCD的表面积S．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：表面展开图

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椭圆 $C$ : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左 $、$ 右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ,过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除长轴端点外的任一点,连接 $P F_{1}, P F_{2}$ ,设 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线 $P M$ 交 $C$ 的长轴于点 $M (m, 0)$ ,求 $m$ 的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ ,使 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点,设直线的 $P F_{1}, P F_{2}$ 斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ .若 $k \neq 0$ ,试证明 $\frac{1}{k k_{1}} + \frac{1}{k k_{2}}$ 为定值,并求出这个定值.

已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{2 x}} + c$ （ $e = 2.71828 . . .$ 是自然对数的底数， $c \in R$ ）.
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于 $x$ 的方程 $|\ln x| = f (x)$ 根的个数。

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ , $T_{n} + \frac{a_{n} + 1}{2^{n}} = λ$ ( $λ$ 为常数)，令 $c_{n} = b_{2 n} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ .

甲 $、$ 乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$ 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ .假设各局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）分别求甲队以 $3 : 0, 3 : 1, 3 : 2$ 胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为求 $3 : 0$ 或 $3 : 1$ ,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分 $、$ 对方得1分.求乙队得分 $X$ 的分布列及数学期望.

如图所示，在三棱锥 $∆ P A Q$ 中， $P B ⊥$ 平面 $A B Q$ ， $B A = B Q = B P, D, C, E, F$ 分别是 $A Q, B Q, A P, B P$ 的中点， $A Q = 2 B D, P D$ 与 $E Q$ 交于 $G, P C$ 与 $F Q$ 交于点 $H$ ，连接 $G H$ .

（Ⅰ）求证： $A B ▱ G H$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D - G H - E$ 的余弦值.

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