校文艺部在全校范围内随机抽取一部分同学，对同学们喜爱的四种明-优题课

校文艺部在全校范围内随机抽取一部分同学，对同学们喜爱的四种“明星真人秀”节目进行问卷调查（每位同学只能选择一种最喜爱的节目），并将调查结果整理后分别绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图）．

请根据所给信息回答下列问题：
（1）本次问卷调查共调查了多少名学生？
（2）请将两幅统计图补充完整；
（3）若该校有1500名学生，据此估计有多少名学生最喜爱《奔跑吧兄弟》节目．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：统计量的选择

如图，正方形 $ABCD$ 的边 $CD$ 在正方形 $ECGF$ 的边 $CE$ 上，连接 $DG$ ，过点 $A$ 作 $AH / / DG$ ，交 $BG$ 于点 $H$ ．连接 $HF$ ， $AF$ ，其中 $AF$ 交 $EC$ 于点 $M$ ．

（1）求证： $ΔAHF$ 为等腰直角三角形．

（2）若 $AB = 3$ ， $EC = 5$ ，求 $EM$ 的长．

如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：

次数	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次	第6次	第7次	第8次	第9次	第10次
数字	3	5	2	3	3	4	3	5

（1）求前8次的指针所指数字的平均数．

（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次． $)$

自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡 $AB = 200$ 米，坡度为 $1 : \sqrt{3}$ ；将斜坡 $AB$ 的高度 $AE$ 降低 $AC = 20$ 米后，斜坡 $AB$ 改造为斜坡 $CD$ ，其坡度为 $1 : 4$ ．求斜坡 $CD$ 的长．（结果保留根号）

已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x - 3 y = 5 \\ x - 2 y = k \end{matrix}$ 的解满足 $x > y$ ，求 $k$ 的取值范围．

（1）方法选择

如图①，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ， $AB = BC = AC$ ．求证： $BD = AD + CD$ ．

小颖认为可用截长法证明：在 $DB$ 上截取 $DM = AD$ ，连接 $AM \dots$

小军认为可用补短法证明：延长 $CD$ 至点 $N$ ，使得 $DN = AD \dots$

请你选择一种方法证明．

（2）类比探究

[探究1]

如图②，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ， $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AB = AC$ ．试用等式表示线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

[探究2]

如图③，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ ABC = 30 °$ ，则线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式是　 $BD = \sqrt{3} CD + 2 AD$ 　．

（3）拓展猜想

如图④，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC : AC : AB = a : b : c$ ，则线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式是　　．