先化简：1÷，再选取一个合适的a值代入计算．-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，并经过 $B (4, 4)$ 和 $C (6, 0)$ 两点，点 $D$ 的坐标为 $(4, 0)$ ，连接 $AD$ ， $AB$ ， $BC$ ，点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿线段 $AD$ 向点 $D$ 运动，到达点 $D$ 后，以每秒1个单位长度的速度沿射线 $DC$ 运动，设点 $E$ 的运动时间为 $t$ 秒，过点 $E$ 作 $AB$ 的垂线 $EF$ 交直线 $AB$ 于点 $F$ ，以线段 $EF$ 为斜边向右作等腰直角 $ΔEFG$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $G$ 落在第一象限内的抛物线上时，求出 $t$ 的值；

（3）设点 $E$ 从点 $A$ 出发时，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 都与点 $A$ 重合，点 $E$ 在运动过程中，当 $ΔBCG$ 的面积为4时，直接写出相应的 $t$ 值，并直接写出点 $G$ 从出发到此时所经过的路径长．

如图， $OF$ 是 $∠ MON$ 的平分线，点 $A$ 在射线 $OM$ 上， $P$ ， $Q$ 是直线 $ON$ 上的两动点，点 $Q$ 在点 $P$ 的右侧，且 $PQ = OA$ ，作线段 $OQ$ 的垂直平分线，分别交直线 $OF$ 、 $ON$ 于点 $B$ 、点 $C$ ，连接 $AB$ 、 $PB$ ．

（1）如图1，当 $P$ 、 $Q$ 两点都在射线 $ON$ 上时，请直接写出线段 $AB$ 与 $PB$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $P$ 、 $Q$ 两点都在射线 $ON$ 的反向延长线上时，线段 $AB$ ， $PB$ 是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；

（3）如图3， $∠ MON = 60 °$ ，连接 $AP$ ，设 $\frac{AP}{OQ} = k$ ，当 $P$ 和 $Q$ 两点都在射线 $ON$ 上移动时， $k$ 是否存在最小值？若存在，请直接写出 $k$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

某商场对某种商品进行销售，第 $x$ 天的销售单价为 $m$ 元 $/$ 件，日销售量为 $n$ 件，其中 $m$ ， $n$ 分别是 $x (1 ⩽ x ⩽ 30$ ，且 $x$ 为整数）的一次函数，销售情况如表：

销售第 $x$ 天	第1天	第2天	第3天	第4天	$\dots$	第30天
销售单价 $m$ （元 $/$ 件）	49	48	47	46	$\dots$	20
日销售量 $n$ （件 $)$	45	50	55	60	$\dots$	190

（1）观察表中数据，分别直接写出 $m$ 与 $x$ ， $n$ 与 $x$ 的函数关系式：　　，　　；

（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？

（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 直径， $AC$ 为 $⊙ O$ 的弦，过 $⊙ O$ 外的点 $D$ 作 $DE ⊥ OA$ 于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $DC$ 并延长交 $AB$ 的延长线于点 $P$ ，且 $∠ D = 2 ∠ A$ ，作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$ ．

（1）判断直线 $DC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $HB = 2$ ， $\cos D = \frac{3}{5}$ ，请求出 $AC$ 的长．

学校准备购进一批篮球和足球，买1个篮球和2个足球共需170元，买2个篮球和1个足球共需190元．

（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？

（2）学校欲购进篮球和足球共100个，且足球数量不多于篮球数量的2倍，求出最多购买足球多少个？