如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-优题课

如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）写出∠PBD的度数和点D的坐标（点D的坐标用t表示）；
（2）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
（3）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

如图，小明在 $A$ 处测得风筝 $(C$ 处）的仰角为 $30 °$ ，同时在 $A$ 正对着风筝方向距 $A$ 处30米的 $B$ 处，小明测得风筝的仰角为 $60 °$ ，求风筝此时的高度．（结果保留根号）

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $C_{1} : y = m x^{2} + n (m \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，其中 $A (- 1, 0)$ ， $C (0, - 1)$ ．

（1）求抛物线 $C_{1}$ 及直线 $AC$ 的解析式．

（2）沿直线 $AC$ 由 $A$ 至 $C$ 的方向平移抛物线 $C_{1}$ ，得到新的抛物线 $C_{2}$ ， $C_{2}$ 上的点 $D$ 为 $C_{1}$ 上的点 $C$ 的对应点，若抛物线 $C_{2}$ 恰好经过点 $B$ ，同时与 $x$ 轴交于另一点 $E$ ，连接 $OD$ 、 $DE$ ，试判断 $ΔODE$ 的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若 $P$ 为线段 $OE$ （不含端点）上一动点，作 $PF ⊥ DE$ 于 $F$ ， $PG ⊥ OD$ 于点 $G$ ，设 $PF = h_{1}$ ， $PG = h_{2}$ ．试判断 $h_{1} \cdot h_{2}$ 的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；如不存在，请说明理由．

如图，已知 $AB$ 、 $CD$ 为 $⊙ O$ 的两条直径， $DF$ 为切线，过 $AO$ 上一点 $N$ 作 $NM ⊥ DF$ 于 $M$ ，连接 $DN$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $CE$ ．

（1）求证： $ΔDMN ∽ ΔCED$ ．

（2）设 $G$ 为点 $E$ 关于 $AB$ 对称点，连接 $GD$ 、 $GN$ ，如果 $∠ DNO = 45 °$ ， $⊙ O$ 的半径为3，求 $D N^{2} + G N^{2}$ 的值．

如图，函数 $y = \{\begin{matrix} 2 x, (0 ⩽ x ⩽ 3) \\ - x + 9, (x > 3) \end{matrix}$ 的图象与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 相交于点 $A (3, m)$ 和点 $B$ ．

（1）求双曲线的解析式及点 $B$ 的坐标；

（2）若点 $P$ 在 $y$ 轴上，连接 $PA$ ， $PB$ ，求当 $PA + PB$ 的值最小时点 $P$ 的坐标．

为了吸引游客，某景区通过加强对服务人员的培训、增建索道和开发新景点等措施，对景区品质进行提档升级，升级后游客人数平均每月是升级前的1.1倍还多3000人，且在 $t$ 个月时间内，升级前只能达36万游客，而升级后可达43.2万游客．

（1）问升级前和升级后平均每月各有多少万游客？

（2）现在景区内去极险峰的索道票价为80元 $/$ 张，为了确保景区索道运营有利润，又要保障游客安全，需使每天卖出的索道票总金额超过2万元而票数不超过1000张，问景区每天卖出的索道票数的范围．

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