已知各项均为正数的数列
满足
， 且
，其中
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列
满足
，是否存在正整数
，使得
成等比数列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，请说明理由。
（3）令
，记数列
的前
项和为
，其中，证明：
。
已知抛物线
的焦点为
是抛物线上横坐标为
，且位于
轴上方的点，
到抛物线准线的距离等于
．过作
垂直于
轴，垂足为
，
的中点为
．
（１）
求抛物线方程；
（２）过作
，垂足为
，求点的坐标；
（３）以为圆心，
为半径作圆．当
是轴上一动点
时，讨论直线
与圆的位置关系．
已知双曲线
，若
的上支顶点为
，且上支与直线
交于点
，以为焦点，
为顶点，开口向下的抛物线通过点，当
的斜率
在区间
上变化时，求实数
的取值范围．
设抛物线
的准线与
轴的交点为
，过点作直线
交抛物线于
两点．若直线的斜率依次取
时，线段
的垂直平分线与对称轴的交点依次为
，当
时，求
的值．
设抛物线
的准线与
轴的交点为
，过点作直线
交抛物线于
两点，若线段
的垂直平分线交对称轴于
，求证：
；
设抛物线
的准线与
轴的交点为
，过点作直线
交抛物线于
两点．
求线段
中点的轨迹方程；