如图①，在矩形ABCD中，AB，BC3，在BC边上取两点E、-优题课

如图①，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；
（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质

如图，一次函数 $y = - \frac{3}{2} x + 1$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第二象限交于点 $A$ ，且点 $A$ 的横坐标为 $﹣ 2$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点 $B$ 的坐标是 $（ ﹣ 3 ， 0 ）$ ，若点 $P$ 在 $y$ 轴上，且 $△ A O P$ 的面积与 $△ A O B$ 的面积相等，求点 $P$ 的坐标．

据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．

学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

（1）设本次问卷调查共抽取了 $m$ 名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是 $n$ 度，分别写出 $m ， n$ 的值；

（2）根据以上调查结果，在 $12000$ 名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？

（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的 $3$ 名男士和 $2$ 名女士中随机抽取 $2$ 人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．

计算： $\sqrt{12} + （ 3.14 ﹣ π ）^{0} ﹣ 3 \tan 60 ° +$ $|1 - \sqrt{3}| + （ ﹣ 2 ）^{﹣ 2}$ ．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{4} （ x + 3 ）（ x ﹣ a ）$ 与x轴交于A， $B （ 4 ， 0 ）$ 两点，点C在y轴上，且 $O C ＝ O B$ ，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当 $D E ⊥ x$ 轴，且 $A E ＝ 1$ 时，求DP的长；

（3）连接BD．

①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；

②如图3，连接CE，当 $C D ＝ A E$ 时，求 $B D + C E$ 的最小值．

已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．

【建立模型】

（1）如图1，连接BE，DE．求证： $B E ＝ D E$ ；

【模型应用】

（2）如图2，F是DE延长线上一点， $F B ⊥ B E$ ，EF交AB于点G．

①判断△FBG的形状并说明理由；

②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．

【模型迁移】

（3）如图3，F是DE延长线上一点， $F B ⊥ B E$ ，EF交AB于点G， $B E ＝ B F$ ．求证： $G E ＝（ \sqrt{2} - 1 ） D E$ ．