（本小题满分14分）有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第-优题课

题文

（本小题满分14分）有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．
（Ⅰ）证明（，是的多项式），并求的值；
（Ⅱ）当时，将数列分组如下：
（每组数的个数构成等差数列）．设前组中所有数之和为，求数列的前项和．
（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式成立的所有的值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：数列综合

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设 $x \in R$ ，解不等式 $| x |+|2 x - 1|>2$ .

在极坐标系中，已知两点 $A (3, \frac{π}{4}), B (\sqrt{2}, \frac{π}{2})$ ，直线l的方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 3$ .

（1）求 A， B两点间的距离；

（2）求点 B到直线 l的距离.

已知矩阵 $A = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}]$

（1）求 A ²；

（2）求矩阵 A的特征值.

定义首项为1且公比为正数的等比数列为"M－数列".

（1）已知等比数列{ a _n} $(n \in N^{*})$ 满足： $a_{2} a_{4} = a_{5}, a_{3} - 4 a_{2} + 4 a_{4} = 0$ ，求证:数列{ a _n}为"M－数列"；

（2）已知数列{ b _n}满足: $b_{1} = 1, \frac{1}{S_{n}} = \frac{2}{b_{n}} - \frac{2}{b_{n + 1}}$ ，其中 S _n为数列{ b _n}的前 n项和．

①求数列{ b _n}的通项公式；

②设 m为正整数，若存在"M－数列"{ c _n} $(n \in N^{*})$ ，对任意正整数 k ，当 k≤ m时，都有 $c_{k} ⩽ b_{k} ⩽ c_{k + 1}$ 成立，求 m的最大值．

设函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c), a, b, c \in R$ 、 $f' (x)$ 为f（x）的导函数．

（1）若 a= b= c ， f（4）=8，求 a的值；

（2）若 a≠ b ， b= c ，且 f（ x）和 $f' (x)$ 的零点均在集合 ${- 3, 1, 3}$ 中，求 f（ x）的极小值；

（3）若 $a = 0, 0 < b ⩽ 1, c = 1$ ，且 f（ x）的极大值为 M，求证: M≤ $\frac{4}{27}$ ．

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