（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端-优题课

（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为．
（Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;
（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程．

科目数学题型解答题难度较易

如图，等边三角形 $O A B$ 的边长为 $8 \sqrt{3}$ ，且其三个顶点均在抛物线 $E : x^{2} = 2 p y （ p ＞ 0 ）$ 上。

（1）求抛物线 $E$ 的方程；
（2）设动直线 $l$ 与抛物线 $E$ 相切于点 $P$ ，与直线 $y = - 1$ 相交于点 $Q$ ，证明以 $P Q$ 为直径的圆恒过 $y$ 轴上某定点.

$\sin^{2} (- 25^{°}) + \cos^{2} 55^{°} - \sin (- 25^{°}) \cos 55^{°}$ 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
（1） $\sin^{2} 13^{°} + \cos^{2} 17^{°} - \sin 13^{°} \cos 17^{°}$

（2） $\sin^{2} 15^{°} + \cos^{2} 15^{°} - \sin 15^{°} \cos 15^{°}$

（3） $s i n^{2} 18^{°} + c o s^{2} 12^{°} - s i n 18^{°} c o s 12^{°}$

（4） $\sin^{2} (- 18^{°}) + \cos^{2} 48^{°} - \sin (- 18^{°}) \cos 48^{°}$

（5） $\sin^{2} (- 25^{°}) + \cos^{2} 55^{°} - \sin (- 25^{°}) \cos 55^{°}$

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M$ 为棱 $D D_{1}$ 上的一点。

Ⅰ求三棱锥 $A - M C C_{1}$ 的体积；

Ⅱ当 $A_{1} M + M C$ 取得最小值时，求证： $B_{1} M ⊥$ 平面 $M A C$ .

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（I）求回归直线方程 $\overset{⏜}{y}$ $= b x + a$ ，其中 $a = - 20$ ， $a = \overset{⏜}{y} - b x$ ；

（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利 $∵ x = \frac{1}{6} (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6}) = 8.5$ 润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

在等差数列 $\{a_{n}\}$ 和等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{4} = 8$ , $\{a_{n}\}$ 的前10项和 $S_{10} = 55$ .

（Ⅰ）求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ；
（Ⅱ）现分别从 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率

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