如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF，求证：CEDF．-优题课

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的半径为1， $A$ ， $B$ 为 $⊙ O$ 外两点， $AB = 1$ ．

给出如下定义：平移线段 $AB$ ，得到 $⊙ O$ 的弦 $A^{'} B^{'} (A^{'}$ ， $B'$ 分别为点 $A$ ， $B$ 的对应点），线段 $A A^{'}$ 长度的最小值称为线段 $AB$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”．

（1）如图，平移线段 $AB$ 得到 $⊙ O$ 的长度为1的弦 $P_{1} P_{2}$ 和 $P_{3} P_{4}$ ，则这两条弦的位置关系是　 $P_{1} P_{2} / / P_{3} P_{4}$ 　；在点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ 中，连接点 $A$ 与点　　的线段的长度等于线段 $AB$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”；

（2）若点 $A$ ， $B$ 都在直线 $y = \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$ 上，记线段 $AB$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”为 $d_{1}$ ，求 $d_{1}$ 的最小值；

（3）若点 $A$ 的坐标为 $(2, \frac{3}{2})$ ，记线段 $AB$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”为 $d_{2}$ ，直接写出 $d_{2}$ 的取值范围．

在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC > BC$ ， $D$ 是 $AB$ 的中点． $E$ 为直线 $AC$ 上一动点，连接 $DE$ ．过点 $D$ 作 $DF ⊥ DE$ ，交直线 $BC$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ．

（1）如图1，当 $E$ 是线段 $AC$ 的中点时，设 $AE = a$ ， $BF = b$ ，求 $EF$ 的长（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）；

（2）当点 $E$ 在线段 $CA$ 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段 $AE$ ， $EF$ ， $BF$ 之间的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 为抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a > 0)$ 上任意两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ．

（1）若抛物线的对称轴为 $x = 1$ ，当 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为何值时， $y_{1} = y_{2} = c$ ；

（2）设抛物线的对称轴为 $x = t$ ，若对于 $x_{1} + x_{2} > 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $t$ 的取值范围．

小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：

$a$ ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：

$b$ ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

时段	1日至10日	11日至20日	21日至30日
平均数	100	170	250

（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为　173　（结果取整数）；

（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的　　倍（结果保留小数点后一位）；

（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{1}^{2}$ ，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{2}^{2}$ ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{3}^{2}$ ．直接写出 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ， $s_{3}^{2}$ 的大小关系．

小云在学习过程中遇到一个函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x ⩾ - 2)$ ．

下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（1）当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时，对于函数 $y_{1} = | x |$ ，即 $y_{1} = - x$ ，当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而　　，且 $y_{1} > 0$ ；对于函数 $y_{2} = x^{2} - x + 1$ ，当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时， $y_{2}$ 随 $x$ 的增大而　　，且 $y_{2} > 0$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而　　．

（2）当 $x ⩾ 0$ 时，对于函数 $y$ ，当 $x ⩾ 0$ 时， $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

$x$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	0	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{16}$	1	$\frac{95}{48}$	$\frac{7}{2}$	$\dots$

结合上表，进一步探究发现，当 $x ⩾ 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．在平面直角坐标系 $xOy$ 中，画出当 $x ⩾ 0$ 时的函数 $y$ 的图象．

（3）过点 $(0$ ， $m) (m > 0)$ 作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线 $l$ 与函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x ⩾ - 2)$ 的图象有两个交点，则 $m$ 的最大值是　　．