计算题（每小题4分，共20分）（1）（2）（3）（4）（5）-优题课

某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项 $A$ ：没有投过；选项 $B$ ：一封；选项 $C$ ：两封；选项 $D$ ：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：

（1）此次抽样调查了　　名学生，条形统计图中 $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）请将条形统计图补全；

（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有　　封；

（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？

如图，点 $P$ 在 $⊙ O$ 外， $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线， $C$ 为切点，直线 $PO$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $A$ 、 $B$ ．

（1）若 $∠ A = 30 °$ ，求证： $PA = 3 PB$ ；

（2）小明发现， $∠ A$ 在一定范围内变化时，始终有 $∠ BCP = \frac{1}{2} (90 ° - ∠ P)$ 成立．请你写出推理过程．

（1）数学理解：如图①， $ΔABC$ 是等腰直角三角形，过斜边 $AB$ 的中点 $D$ 作正方形 $DECF$ ，分别交 $BC$ ， $AC$ 于点 $E$ ， $F$ ，求 $AB$ ， $BE$ ， $AF$ 之间的数量关系；

（2）问题解决：如图②，在任意直角 $ΔABC$ 内，找一点 $D$ ，过点 $D$ 作正方形 $DECF$ ，分别交 $BC$ ， $AC$ 于点 $E$ ， $F$ ，若 $AB = BE + AF$ ，求 $∠ ADB$ 的度数；

（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 $ED$ ， $FD$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ， $N$ ，求 $MN$ ， $AM$ ， $BN$ 的数量关系．

如图，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且关于直线 $x = 1$ 对称，点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $BC$ ，若点 $P$ 在 $y$ 轴上时， $BP$ 和 $BC$ 的夹角为 $15 °$ ，求线段 $CP$ 的长度；

（3）当 $a ⩽ x ⩽ a + 1$ 时，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的最小值为 $2 a$ ，求 $a$ 的值．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $OP$ ，点 $A$ 关于 $OP$ 的对称点 $C$ 恰好落在 $⊙ O$ 上．

（1）求证： $OP / / BC$ ；

（2）过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线 $CD$ ，交 $AP$ 的延长线于点 $D$ ．如果 $∠ D = 90 °$ ， $DP = 1$ ，求 $⊙ O$ 的直径．