已知函数.
(1)求的单调区间和极值点;
(2)求使恒成立的实数
的取值范围;
(3)当时,是否存在实数
,使得方程
有三个不等实根?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)的三个内角
所对的边分别为
,向量
,
,且
.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)现在给出下列三个条件:①;②
;③
,试从中再选择两个条件以确定
,求出所确定的
的面积.
(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分).
(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列中,
是数列
的前
项和,对任意
,有
.函数
,数列
的首项
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令求证:
是等比数列并求
通项公式;
(Ⅲ)令,
,求数列
的前n项和
.
(本小题满分12分)已知某种稀有矿石的价值(单位:元)与其重量
(单位:克)的平方成正比,且
克该种矿石的价值为
元。
⑴写出(单位:元)关于
(单位:克)的函数关系式;
⑵若把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石,求价值损失的百分率;
⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的百分率最大。(注:价值损失的百分率;在切割过程中的重量损耗忽略不计)
(本小题满分12分)如图,在矩形中,
,又
⊥平面
,
.
(Ⅰ)若在边上存在一点
,使
,
求的取值范围;
(Ⅱ)当边上存在唯一点
,使
时,
求二面角的余弦值.
(本小题满分12分)已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各x千克,y千克,z千克配成100千克混合食物,并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
甲 |
乙 |
丙 |
|
维生素A(单位/千克) |
600 |
700 |
400 |
维生素B(单位/千克) |
800 |
400 |
500 |
成本(元/千克) |
11 |
9 |
4 |
(Ⅰ)用x,y表示混合食物成本c元;
(Ⅱ)确定x,y,z的值,使成本最低.