极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与
轴的正半轴重合，直线
的参数方程为
（
为参数）, 圆
的极坐标方程为
．
（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）若圆上的点到直线的最大距离为
，求
的值．
（本小题满分12分）已知椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线
与以椭圆
的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
为椭圆上一点，若过点
的直线
与椭圆相交于不同的两点
和
，满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围.
（本小题满分12分）如图，已知四棱锥
的底面为菱形，
，
，
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
（本小题满分12分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物
次，最后落入
袋或
袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是
（Ⅰ）分别求出小球落入袋和袋中的概率；
（Ⅱ）在容器的入口处依次放入
个小球，记
为落入袋中的小球个数，求的分布列和数学期望．
（本小题满分12分）已知正项等差数列
的前
项和为
，且满足
，
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列
满足
，
，求数列
的前项和
（本小题满分14分）已知函数
（
是常数），曲线
在点
处的切线在
轴上的截距为
．
（1）求
的值；
（2）
，讨论直线
与曲线的公共点的个数．