如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标-优题课

题文

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。

（1）P点的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？
你发现了几种情况？写出你的研究成果。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：坐标与图形变化-旋转

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文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解 $10 ~ 60$ 岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：

组别	年龄段	频数（人数）
第1组	$10 ⩽ x < 20$	5
第2组	$20 ⩽ x < 30$	$a$
第3组	$30 ⩽ x < 40$	35
第4组	$40 ⩽ x < 50$	20
第5组	$50 ⩽ x < 60$	15

（1）请直接写出 $a =$ 　　， $m =$ 　　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　　度．

（2）请补全上面的频数分布直方图；

（3）假设该市现有 $10 ~ 60$ 岁的市民300万人，问 $40 ~ 50$ 岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？

已知，在如图所示的“风筝”图案中， $AB = AD$ ， $AC = AE$ ， $∠ BAE = ∠ DAC$ ．求证： $∠ E = ∠ C$ ．

解不等式 $\frac{x - 5}{2} + 1 > x - 3$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 的对称轴是直线 $x = 3$ ，与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式和 $A$ ， $B$ 两点的坐标；

（2）如图1，若点 $P$ 是抛物线上 $B$ 、 $C$ 两点之间的一个动点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），是否存在点 $P$ ，使四边形 $PBOC$ 的面积最大？若存在，求点 $P$ 的坐标及四边形 $PBOC$ 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点 $M$ 是抛物线上任意一点，过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线，交直线 $BC$ 于点 $N$ ，当 $MN = 3$ 时，求点 $M$ 的坐标．

在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ．

（1）如图1，点 $M$ ， $N$ 分别在 $AD$ ， $AB$ 上，且 $∠ BMN = 90 °$ ，当 $∠ AMN = 30 °$ ， $AB = 2$ 时，求线段 $AM$ 的长；

（2）如图2，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AB$ ， $AC$ 上，且 $∠ EDF = 90 °$ ，求证： $BE = AF$ ；

（3）如图3，点 $M$ 在 $AD$ 的延长线上，点 $N$ 在 $AC$ 上，且 $∠ BMN = 90 °$ ，求证： $AB + AN = \sqrt{2} AM$ ．

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