如图，已知，在Rt△ABC中，∠BAC90°．实践与操作：（-优题课

如图，已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．

实践与操作：
（1）①利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：作线段AC的垂直平分线MN，垂足为O；
②连接BO，并延长BO到点D，使得OD=BO，连接AD、CD；
③分别在OA、OC的延长线上取点E、F，使AE=CF，连接BF、FD、DE、EB．
推理与运用：
（2）①求证：四边形BFDE是平行四边形；
②若AB=4，AC=6，求当AE的长为多少时，四边形BFDE是矩形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = BC$ ，点 $C (2, 0)$ ，点 $B (0, 4)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 $OA$ 向上平移 $m$ 个单位后经过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上的点 $(1, n)$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．

（1）在这次调查中，"优秀"所在扇形的圆心角的度数是　　；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校"良好"的人数是　　；

（4）已知"不及格"的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？

计算： $| \sqrt{2} - 1 | + \cos 45 ° - {(\sqrt{2})}^{- 3} + \sqrt{8}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4$ 交 $x$ 轴于 $A (- 1, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为第四象限内抛物线上一点，连接 $PB$ ，过点 $C$ 作 $CQ / / BP$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $PQ$ ，求 $ΔPBQ$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4$ 向右平移经过点 $(\frac{1}{2}$ ， $0)$ 时，得到新抛物线 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ ，点 $E$ 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 $F$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考：若点 $P_{1} (x_{1}$ ， $y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，则线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点 $P_{0}$ 的坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $\frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ ．

在矩形 $ABCD$ 中， $BC = \sqrt{3} CD$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $AD$ 、 $BC$ 上的动点，且 $AE = CF$ ，连接 $EF$ ，将矩形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠，点 $C$ 落在点 $G$ 处，点 $D$ 落在点 $H$ 处．

（1）如图1，当 $EH$ 与线段 $BC$ 交于点 $P$ 时，求证： $PE = PF$ ；

（2）如图2，当点 $P$ 在线段 $CB$ 的延长线上时， $GH$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，求证：点 $M$ 在线段 $EF$ 的垂直平分线上；

（3）当 $AB = 5$ 时，在点 $E$ 由点 $A$ 移动到 $AD$ 中点的过程中，计算出点 $G$ 运动的路线长．