如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc（a≠0）与x-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，tan∠BAC=2．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从O点出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，问运动多少秒时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
（3）过点P向x轴作垂线，交抛物线于一点M，是否存在点M，使得点M到BC的距离等于？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ 和点 $B (- 3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ，与抛物线的对称轴交于点 $E$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 $Q$ 在射线 $ED$ 上，若以点 $P$ 、 $Q$ 、 $E$ 为顶点的三角形与 $ΔBOC$ 相似，请直接写出点 $P$ 的坐标．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， $ΔABO$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 4, 3)$ ， $O (0, 0)$ ．

（1）画出 $ΔABO$ 关于 $x$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} O$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（2）画出 $ΔABO$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的△ $A_{2} B_{2} O$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求点 $A$ 旋转到点 $A_{2}$ 所经过的路径长（结果保留 $π)$ ．

先化简，再求值： $(a - \frac{a^{2}}{a + 1}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = 2 \cos 60 ° + 1$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于原点 $O$ 和点 $A$ ，且其顶点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标为 $(2, 1)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点 $F$ ，使得抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 上的任意一点 $G$ 到定点 $F$ 的距离与点 $G$ 到直线 $y = - 2$ 的距离总相等．

①证明上述结论并求出点 $F$ 的坐标；

②过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

证明：当直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时， $\frac{1}{MF} + \frac{1}{NF}$ 是定值，并求出该定值；

（3）点 $C (3, m)$ 是该抛物线上的一点，在 $x$ 轴， $y$ 轴上分别找点 $P$ ， $Q$ ，使四边形 $PQBC$ 周长最小，直接写出 $P$ ， $Q$ 的坐标．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径． $BC$ 是 $⊙ O$ 的弦，弦 $ED$ 垂直 $AB$ 于点 $F$ ，交 $BC$ 于点 $G$ ．过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $ED$ 的延长线于点 $P$

（1）求证： $PC = PG$ ；

（2）判断 $P G^{2} = PD \cdot PE$ 是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若 $G$ 为 $BC$ 中点， $OG = \sqrt{5}$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $DE$ 的长．